Номер 1089, страница 270 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1089, страница 270.

1089 Напишите уравнение окружности, проходящей через три данные точки:
а) А (1; −4), B (4; 5), С (3; −2);
б) А (3; −7), B (8; −2), C (6; 2).

а)

Общее уравнение окружности имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

Пусть центр окружности — точка $O(a; b)$. Так как точки $A(1; -4)$, $B(4; 5)$ и $C(3; -2)$ лежат на окружности, то расстояния от центра до этих точек равны радиусу: $OA = OB = OC = R$. Следовательно, квадраты этих расстояний также равны: $OA^2 = OB^2 = OC^2$.

Запишем квадраты расстояний:
$OA^2 = (1 - a)^2 + (-4 - b)^2 = (1 - a)^2 + (b + 4)^2$
$OB^2 = (4 - a)^2 + (5 - b)^2$
$OC^2 = (3 - a)^2 + (-2 - b)^2 = (3 - a)^2 + (b + 2)^2$

Составим систему уравнений, приравняв квадраты расстояний.

1. Приравняем $OA^2$ и $OB^2$:
$(1 - a)^2 + (b + 4)^2 = (4 - a)^2 + (5 - b)^2$
Раскроем скобки:
$1 - 2a + a^2 + b^2 + 8b + 16 = 16 - 8a + a^2 + 25 - 10b + b^2$
Упростим, сократив $a^2$ и $b^2$ в обеих частях:
$17 - 2a + 8b = 41 - 8a - 10b$
Перенесём переменные в левую часть, а константы в правую:
$8a - 2a + 8b + 10b = 41 - 17$
$6a + 18b = 24$
Разделим обе части на 6:
$a + 3b = 4$

2. Приравняем $OA^2$ и $OC^2$:
$(1 - a)^2 + (b + 4)^2 = (3 - a)^2 + (b + 2)^2$
Раскроем скобки:
$1 - 2a + a^2 + b^2 + 8b + 16 = 9 - 6a + a^2 + b^2 + 4b + 4$
Упростим:
$17 - 2a + 8b = 13 - 6a + 4b$
Перенесём переменные в левую часть, а константы в правую:
$6a - 2a + 8b - 4b = 13 - 17$
$4a + 4b = -4$
Разделим обе части на 4:
$a + b = -1$

Теперь решим систему из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} a + 3b = 4 \\ a + b = -1 \end{cases}$
Вычтем второе уравнение из первого:
$(a + 3b) - (a + b) = 4 - (-1)$
$2b = 5$
$b = 2.5$
Подставим значение $b$ во второе уравнение:
$a + 2.5 = -1$
$a = -3.5$
Таким образом, центр окружности $O(-3.5; 2.5)$.

Найдём квадрат радиуса $R^2$, используя координаты точки $A$:
$R^2 = OA^2 = (1 - a)^2 + (-4 - b)^2 = (1 - (-3.5))^2 + (-4 - 2.5)^2 = (4.5)^2 + (-6.5)^2 = 20.25 + 42.25 = 62.5$

Подставим найденные значения $a$, $b$ и $R^2$ в общее уравнение окружности:
$(x - (-3.5))^2 + (y - 2.5)^2 = 62.5$
$(x + 3.5)^2 + (y - 2.5)^2 = 62.5$

Ответ: $(x + 3.5)^2 + (y - 2.5)^2 = 62.5$

б)

Аналогично пункту а), найдём уравнение окружности, проходящей через точки $A(3; -7)$, $B(8; -2)$ и $C(6; 2)$. Пусть центр окружности — точка $O(a; b)$.

Запишем равенство квадратов расстояний $OA^2 = OB^2 = OC^2$:
$OA^2 = (3 - a)^2 + (-7 - b)^2 = (3 - a)^2 + (b + 7)^2$
$OB^2 = (8 - a)^2 + (-2 - b)^2 = (8 - a)^2 + (b + 2)^2$
$OC^2 = (6 - a)^2 + (2 - b)^2$

Составим систему уравнений.

1. Приравняем $OA^2$ и $OB^2$:
$(3 - a)^2 + (b + 7)^2 = (8 - a)^2 + (b + 2)^2$
$9 - 6a + a^2 + b^2 + 14b + 49 = 64 - 16a + a^2 + b^2 + 4b + 4$
$58 - 6a + 14b = 68 - 16a + 4b$
$16a - 6a + 14b - 4b = 68 - 58$
$10a + 10b = 10$
$a + b = 1$

2. Приравняем $OB^2$ и $OC^2$:
$(8 - a)^2 + (b + 2)^2 = (6 - a)^2 + (2 - b)^2$
$64 - 16a + a^2 + b^2 + 4b + 4 = 36 - 12a + a^2 + 4 - 4b + b^2$
$68 - 16a + 4b = 40 - 12a - 4b$
$-16a + 12a + 4b + 4b = 40 - 68$
$-4a + 8b = -28$
Разделим обе части на -4:
$a - 2b = 7$

Решим систему уравнений:
$\begin{cases} a + b = 1 \\ a - 2b = 7 \end{cases}$
Вычтем второе уравнение из первого:
$(a + b) - (a - 2b) = 1 - 7$
$3b = -6$
$b = -2$
Подставим значение $b$ в первое уравнение:
$a + (-2) = 1$
$a = 3$
Таким образом, центр окружности $O(3; -2)$.

Найдём квадрат радиуса $R^2$, используя координаты точки $C$:
$R^2 = OC^2 = (6 - a)^2 + (2 - b)^2 = (6 - 3)^2 + (2 - (-2))^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

Подставим найденные значения $a$, $b$ и $R^2$ в общее уравнение окружности:
$(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 25$
$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$

Ответ: $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$