Номер 1090, страница 270 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1090, страница 270.

1090 Вершины треугольника ABC имеют координаты A (−7; 5), В (3; −1), C (5; 3). Составьте уравнения: а) серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; б) прямых AB, ВС и СА; в) прямых, на которых лежат средние линии треугольника.

Даны вершины треугольника $ABC$ с координатами $A(-7; 5)$, $B(3; -1)$, $C(5; 3)$.

а) Cерединных перпендикуляров к сторонам треугольника

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, проходящая через середину этого отрезка и перпендикулярная ему. Общее уравнение прямой в виде $y - y_0 = k(x - x_0)$, где $(x_0, y_0)$ — точка на прямой, а $k$ — её угловой коэффициент.

1. Серединный перпендикуляр к стороне AB:
Сначала найдем координаты середины $M_{AB}$ отрезка AB по формуле $M(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2})$:
$x_{M_{AB}} = \frac{-7 + 3}{2} = -2$; $y_{M_{AB}} = \frac{5 + (-1)}{2} = 2$. Таким образом, $M_{AB}(-2; 2)$.
Теперь найдем угловой коэффициент $k_{AB}$ прямой AB: $k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-1 - 5}{3 - (-7)} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$.
Угловой коэффициент $k_{\perp}$ перпендикулярной прямой связан с исходным соотношением $k_{\perp} = -\frac{1}{k}$.
$k_{\perp AB} = -\frac{1}{-3/5} = \frac{5}{3}$.
Составим уравнение серединного перпендикуляра, проходящего через точку $M_{AB}(-2; 2)$ с уклоном $k_{\perp AB} = \frac{5}{3}$:
$y - 2 = \frac{5}{3}(x - (-2))$
$3(y - 2) = 5(x + 2)$
$3y - 6 = 5x + 10$
$5x - 3y + 16 = 0$.

2. Серединный перпендикуляр к стороне BC:
Найдем координаты середины $M_{BC}$ отрезка BC:
$x_{M_{BC}} = \frac{3 + 5}{2} = 4$; $y_{M_{BC}} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$. Таким образом, $M_{BC}(4; 1)$.
Угловой коэффициент прямой BC: $k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{3 - (-1)}{5 - 3} = \frac{4}{2} = 2$.
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой: $k_{\perp BC} = -\frac{1}{2}$.
Составим уравнение серединного перпендикуляра, проходящего через точку $M_{BC}(4; 1)$ с уклоном $k_{\perp BC} = -\frac{1}{2}$:
$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 4)$
$2(y - 1) = -(x - 4)$
$2y - 2 = -x + 4$
$x + 2y - 6 = 0$.

3. Серединный перпендикуляр к стороне CA:
Найдем координаты середины $M_{CA}$ отрезка CA:
$x_{M_{CA}} = \frac{5 + (-7)}{2} = -1$; $y_{M_{CA}} = \frac{3 + 5}{2} = 4$. Таким образом, $M_{CA}(-1; 4)$.
Угловой коэффициент прямой CA: $k_{CA} = \frac{y_A - y_C}{x_A - x_C} = \frac{5 - 3}{-7 - 5} = \frac{2}{-12} = -\frac{1}{6}$.
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой: $k_{\perp CA} = -\frac{1}{-1/6} = 6$.
Составим уравнение серединного перпендикуляра, проходящего через точку $M_{CA}(-1; 4)$ с уклоном $k_{\perp CA} = 6$:
$y - 4 = 6(x - (-1))$
$y - 4 = 6x + 6$
$6x - y + 10 = 0$.

Ответ: Уравнения серединных перпендикуляров к сторонам AB, BC и CA соответственно: $5x - 3y + 16 = 0$, $x + 2y - 6 = 0$, $6x - y + 10 = 0$.

б) Прямых AB, BC и CA

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно найти по формуле $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

1. Прямая AB, проходящая через A(-7; 5) и B(3; -1):
$\frac{x - (-7)}{3 - (-7)} = \frac{y - 5}{-1 - 5}$
$\frac{x + 7}{10} = \frac{y - 5}{-6}$
$-6(x + 7) = 10(y - 5)$, разделим на -2:
$3(x + 7) = -5(y - 5)$
$3x + 21 = -5y + 25$
$3x + 5y - 4 = 0$.

2. Прямая BC, проходящая через B(3; -1) и C(5; 3):
$\frac{x - 3}{5 - 3} = \frac{y - (-1)}{3 - (-1)}$
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{4}$
$4(x - 3) = 2(y + 1)$, разделим на 2:
$2(x - 3) = y + 1$
$2x - 6 = y + 1$
$2x - y - 7 = 0$.

3. Прямая CA, проходящая через C(5; 3) и A(-7; 5):
$\frac{x - 5}{-7 - 5} = \frac{y - 3}{5 - 3}$
$\frac{x - 5}{-12} = \frac{y - 3}{2}$
$2(x - 5) = -12(y - 3)$, разделим на 2:
$x - 5 = -6(y - 3)$
$x - 5 = -6y + 18$
$x + 6y - 23 = 0$.

Ответ: Уравнения прямых AB, BC и CA соответственно: $3x + 5y - 4 = 0$, $2x - y - 7 = 0$, $x + 6y - 23 = 0$.

в) Прямых, на которых лежат средние линии треугольника

Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон и параллельна третьей стороне. Следовательно, её угловой коэффициент равен угловому коэффициенту этой третьей стороны.

Координаты середин сторон (из пункта а)): $M_{AB}(-2; 2)$, $M_{BC}(4; 1)$, $M_{CA}(-1; 4)$.
Угловые коэффициенты сторон (из пункта а)): $k_{AB} = -\frac{3}{5}$, $k_{BC} = 2$, $k_{CA} = -\frac{1}{6}$.

1. Средняя линия, параллельная BC:
Эта линия проходит через середины сторон AB и AC, т.е. через точки $M_{AB}$ и $M_{CA}$. Она параллельна стороне BC, поэтому ее угловой коэффициент $k = k_{BC} = 2$. Возьмем точку $M_{AB}(-2; 2)$:
$y - 2 = 2(x - (-2))$
$y - 2 = 2x + 4$
$2x - y + 6 = 0$.

2. Средняя линия, параллельная CA:
Эта линия проходит через $M_{AB}$ и $M_{BC}$. Она параллельна стороне CA, поэтому ее угловой коэффициент $k = k_{CA} = -\frac{1}{6}$. Возьмем точку $M_{BC}(4; 1)$:
$y - 1 = -\frac{1}{6}(x - 4)$
$6(y - 1) = -(x - 4)$
$6y - 6 = -x + 4$
$x + 6y - 10 = 0$.

3. Средняя линия, параллельная AB:
Эта линия проходит через $M_{BC}$ и $M_{CA}$. Она параллельна стороне AB, поэтому ее угловой коэффициент $k = k_{AB} = -\frac{3}{5}$. Возьмем точку $M_{CA}(-1; 4)$:
$y - 4 = -\frac{3}{5}(x - (-1))$
$5(y - 4) = -3(x + 1)$
$5y - 20 = -3x - 3$
$3x + 5y - 17 = 0$.

Ответ: Уравнения прямых, на которых лежат средние линии, параллельные сторонам BC, CA и AB соответственно: $2x - y + 6 = 0$, $x + 6y - 10 = 0$, $3x + 5y - 17 = 0$.