Номер 1094, страница 270 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой. Дополнительные задачи - номер 1094, страница 270.

Условие.

1094 Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $M$ — середина диагонали $AC$, а $N$ — середина диагонали $BD$. Необходимо доказать, что длина отрезка $MN$ равна полуразности оснований.

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся свойством средней линии треугольника. Рассмотрим боковую сторону $AB$ и отметим на ней середину — точку $K$.

1. Рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $KN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BD$. Следовательно, $KN$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине:
$KN \parallel AD$ и $KN = \frac{1}{2}AD$.

2. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KM$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $KM$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии:
$KM \parallel BC$ и $KM = \frac{1}{2}BC$.

3. Так как основания трапеции параллельны ($AD \parallel BC$), а отрезки $KN$ и $KM$ параллельны соответственно $AD$ и $BC$, то $KN \parallel KM$. Поскольку эти два параллельных отрезка имеют общую точку $K$, они лежат на одной прямой. Это означает, что точки $K$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой (которая является средней линией трапеции).

4. Длину отрезка $MN$ можно найти как разность длин отрезков $KN$ и $KM$. Без ограничения общности, предположим, что $AD > BC$. Тогда $KN > KM$, и точка $M$ лежит между точками $K$ и $N$.
$MN = KN - KM$.

5. Подставим в это равенство выражения для длин $KN$ и $KM$, полученные в шагах 1 и 2:
$MN = \frac{1}{2}AD - \frac{1}{2}BC = \frac{AD - BC}{2}$.

Таким образом, мы доказали, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности ее оснований. Что и требовалось доказать.

Ответ: Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности длин оснований: $\frac{AD - BC}{2}$ (где $AD$ — большее основание, $BC$ — меньшее).