Номер 1094, страница 270 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1094, страница 270.

1094 Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $M$ — середина диагонали $AC$, а $N$ — середина диагонали $BD$. Необходимо доказать, что длина отрезка $MN$ равна полуразности оснований.

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся свойством средней линии треугольника. Рассмотрим боковую сторону $AB$ и отметим на ней середину — точку $K$.

1. Рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $KN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BD$. Следовательно, $KN$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине:
$KN \parallel AD$ и $KN = \frac{1}{2}AD$.

2. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KM$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $KM$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии:
$KM \parallel BC$ и $KM = \frac{1}{2}BC$.

3. Так как основания трапеции параллельны ($AD \parallel BC$), а отрезки $KN$ и $KM$ параллельны соответственно $AD$ и $BC$, то $KN \parallel KM$. Поскольку эти два параллельных отрезка имеют общую точку $K$, они лежат на одной прямой. Это означает, что точки $K$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой (которая является средней линией трапеции).

4. Длину отрезка $MN$ можно найти как разность длин отрезков $KN$ и $KM$. Без ограничения общности, предположим, что $AD > BC$. Тогда $KN > KM$, и точка $M$ лежит между точками $K$ и $N$.
$MN = KN - KM$.

5. Подставим в это равенство выражения для длин $KN$ и $KM$, полученные в шагах 1 и 2:
$MN = \frac{1}{2}AD - \frac{1}{2}BC = \frac{AD - BC}{2}$.

Таким образом, мы доказали, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности ее оснований. Что и требовалось доказать.

Ответ: Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности длин оснований: $\frac{AD - BC}{2}$ (где $AD$ — большее основание, $BC$ — меньшее).