Номер 1088, страница 270 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1088, страница 270.

1088 Напишите уравнение окружности, проходящей через точки A (3; 0) и B (−1; 2), если центр её лежит на прямой у = x + 2.

Общее уравнение окружности с центром в точке $C(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

Для решения задачи нам нужно найти координаты центра $(a; b)$ и квадрат радиуса $R^2$.

1. Нахождение координат центра окружности

По условию, центр окружности $C(a; b)$ лежит на прямой $y = x + 2$. Следовательно, координаты центра удовлетворяют этому уравнению:

$b = a + 2$

Также известно, что окружность проходит через точки $A(3; 0)$ и $B(-1; 2)$. Это означает, что эти точки равноудалены от центра окружности, и это расстояние равно радиусу $R$. Таким образом, $CA = CB$, или, для удобства вычислений, $CA^2 = CB^2$.

Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Квадрат расстояния от центра $C(a; b)$ до точки $A(3; 0)$:

$CA^2 = (3 - a)^2 + (0 - b)^2 = (a - 3)^2 + b^2$

Квадрат расстояния от центра $C(a; b)$ до точки $B(-1; 2)$:

$CB^2 = (-1 - a)^2 + (2 - b)^2 = (a + 1)^2 + (b - 2)^2$

Приравниваем эти два выражения:

$(a - 3)^2 + b^2 = (a + 1)^2 + (b - 2)^2$

Раскроем скобки в уравнении:

$a^2 - 6a + 9 + b^2 = a^2 + 2a + 1 + b^2 - 4b + 4$

Сократим одинаковые слагаемые ($a^2$ и $b^2$) в обеих частях уравнения:

$-6a + 9 = 2a + 5 - 4b$

Соберем слагаемые с переменными в одной части, а числовые — в другой:

$4b = 2a + 6a + 5 - 9$

$4b = 8a - 4$

Разделим обе части уравнения на 4:

$b = 2a - 1$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $a$ и $b$:

$\begin{cases} b = a + 2 \\ b = 2a - 1 \end{cases}$

Поскольку левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:

$a + 2 = 2a - 1$

$2 + 1 = 2a - a$

$a = 3$

Теперь найдем $b$, подставив значение $a=3$ в первое уравнение системы:

$b = 3 + 2 = 5$

Таким образом, центр окружности — точка $C(3; 5)$.

2. Нахождение радиуса окружности

Радиус $R$ — это расстояние от центра $C(3; 5)$ до любой из точек, через которые проходит окружность, например, до точки $A(3; 0)$. Найдем квадрат радиуса $R^2$:

$R^2 = CA^2 = (3 - 3)^2 + (0 - 5)^2$

$R^2 = 0^2 + (-5)^2 = 25$

3. Составление уравнения окружности

Подставим найденные координаты центра $a=3$, $b=5$ и квадрат радиуса $R^2=25$ в общее уравнение окружности:

$(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25$

Ответ: $(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25$.