Номер 1084, страница 269 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1084, страница 269.

1084 Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты А (3; 2), B (0; 5), С (−3; 2), D (0; −1), является квадратом.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является квадратом, необходимо установить, что все его стороны равны между собой, а также равны его диагонали. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на плоскости с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Даны координаты вершин: A(3; 2), B(0; 5), C(-3; 2), D(0; -1).

1. Вычислим длины сторон четырёхугольника.

Длина стороны AB: $AB = \sqrt{(0-3)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18}$.

Длина стороны BC: $BC = \sqrt{(-3-0)^2 + (2-5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18}$.

Длина стороны CD: $CD = \sqrt{(0-(-3))^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18}$.

Длина стороны DA: $DA = \sqrt{(3-0)^2 + (2-(-1))^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18}$.

Все стороны равны: $AB = BC = CD = DA = \sqrt{18}$. Это означает, что четырёхугольник ABCD является ромбом.

Ответ: Длины всех сторон равны $\sqrt{18}$, следовательно, четырёхугольник ABCD является ромбом.

2. Вычислим длины диагоналей четырёхугольника.

Длина диагонали AC: $AC = \sqrt{(-3-3)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6$.

Длина диагонали BD: $BD = \sqrt{(0-0)^2 + (-1-5)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = \sqrt{36} = 6$.

Диагонали равны: $AC = BD = 6$.

Поскольку четырёхугольник ABCD является ромбом (все стороны равны) и его диагонали равны, он является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Диагонали четырёхугольника равны 6, что в сочетании с равенством сторон доказывает, что ABCD — квадрат.