Номер 1077, страница 269 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1077, страница 269.

1077 Найдите координаты вектора p и его длину, если:
а) p = 7a − 3b, a {1; −1}, b {5; −2};
б) p = 4a − 2b, a {6; 3}, b {5; 4};
в) p = 5а − 4b, a {35;15}, b {6; −1};
г) p = 3 (−2a − 4b), a {1; 5}, b {−1; −1}.

а) Дано: $\vec{p} = 7\vec{a} - 3\vec{b}$, $\vec{a}\{1; -1\}$, $\vec{b}\{5; -2\}$.

1. Чтобы найти координаты вектора $\vec{p}\{p_x; p_y\}$, нужно выполнить соответствующие операции с координатами векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$p_x = 7 \cdot a_x - 3 \cdot b_x = 7 \cdot 1 - 3 \cdot 5 = 7 - 15 = -8$
$p_y = 7 \cdot a_y - 3 \cdot b_y = 7 \cdot (-1) - 3 \cdot (-2) = -7 + 6 = -1$
Таким образом, координаты вектора $\vec{p}$ равны $\{-8; -1\}$.

2. Длину (модуль) вектора $\vec{p}$ найдем по формуле $|\vec{p}| = \sqrt{p_x^2 + p_y^2}$:
$|\vec{p}| = \sqrt{(-8)^2 + (-1)^2} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}$.

Ответ: Координаты вектора $\vec{p}\{-8; -1\}$, его длина $|\vec{p}| = \sqrt{65}$.

б) Дано: $\vec{p} = 4\vec{a} - 2\vec{b}$, $\vec{a}\{6; 3\}$, $\vec{b}\{5; 4\}$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{p}\{p_x; p_y\}$:
$p_x = 4 \cdot a_x - 2 \cdot b_x = 4 \cdot 6 - 2 \cdot 5 = 24 - 10 = 14$
$p_y = 4 \cdot a_y - 2 \cdot b_y = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 4 = 12 - 8 = 4$
Таким образом, координаты вектора $\vec{p}$ равны $\{14; 4\}$.

2. Найдем длину вектора $\vec{p}$:
$|\vec{p}| = \sqrt{14^2 + 4^2} = \sqrt{196 + 16} = \sqrt{212}$.
Упростим полученное значение: $\sqrt{212} = \sqrt{4 \cdot 53} = 2\sqrt{53}$.

Ответ: Координаты вектора $\vec{p}\{14; 4\}$, его длина $|\vec{p}| = 2\sqrt{53}$.

в) Дано: $\vec{p} = 5\vec{a} - 4\vec{b}$, $\vec{a}\{\frac{3}{5}; \frac{1}{5}\}$, $\vec{b}\{6; -1\}$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{p}\{p_x; p_y\}$:
$p_x = 5 \cdot a_x - 4 \cdot b_x = 5 \cdot \frac{3}{5} - 4 \cdot 6 = 3 - 24 = -21$
$p_y = 5 \cdot a_y - 4 \cdot b_y = 5 \cdot \frac{1}{5} - 4 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$
Таким образом, координаты вектора $\vec{p}$ равны $\{-21; 5\}$.

2. Найдем длину вектора $\vec{p}$:
$|\vec{p}| = \sqrt{(-21)^2 + 5^2} = \sqrt{441 + 25} = \sqrt{466}$.

Ответ: Координаты вектора $\vec{p}\{-21; 5\}$, его длина $|\vec{p}| = \sqrt{466}$.

г) Дано: $\vec{p} = 3(-2\vec{a} - 4\vec{b})$, $\vec{a}\{1; 5\}$, $\vec{b}\{-1; -1\}$.

1. Сначала упростим выражение для вектора $\vec{p}$, раскрыв скобки:
$\vec{p} = 3 \cdot (-2\vec{a}) - 3 \cdot (4\vec{b}) = -6\vec{a} - 12\vec{b}$.

2. Теперь найдем координаты вектора $\vec{p}\{p_x; p_y\}$:
$p_x = -6 \cdot a_x - 12 \cdot b_x = -6 \cdot 1 - 12 \cdot (-1) = -6 + 12 = 6$
$p_y = -6 \cdot a_y - 12 \cdot b_y = -6 \cdot 5 - 12 \cdot (-1) = -30 + 12 = -18$
Таким образом, координаты вектора $\vec{p}$ равны $\{6; -18\}$.

3. Найдем длину вектора $\vec{p}$:
$|\vec{p}| = \sqrt{6^2 + (-18)^2} = \sqrt{36 + 324} = \sqrt{360}$.
Упростим полученное значение: $\sqrt{360} = \sqrt{36 \cdot 10} = 6\sqrt{10}$.

Ответ: Координаты вектора $\vec{p}\{6; -18\}$, его длина $|\vec{p}| = 6\sqrt{10}$.