Номер 19, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой. Вопросы для повторения к главе 11 - номер 19, страница 268.

Условие.

19 Что такое угловой коэффициент прямой?

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Определение

Угловой коэффициент прямой — это число, которое характеризует наклон данной прямой относительно оси абсцисс (оси Ox) в прямоугольной системе координат.

В уравнении прямой, записанном в виде $y = kx + b$, угловым коэффициентом является число $k$. Этот вид уравнения так и называется — «уравнение прямой с угловым коэффициентом». В этом уравнении:

• $k$ — угловой коэффициент.
• $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью ординат (осью Oy).

Ответ: Угловой коэффициент ($k$) в уравнении прямой $y = kx + b$ — это число, характеризующее наклон прямой.

Геометрический смысл

Геометрически угловой коэффициент равен тангенсу угла $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс (Ox). Угол отсчитывается против часовой стрелки.

Формула: $k = \tan(\alpha)$

Из этого следуют важные свойства:

• Если $k > 0$, то угол $\alpha$ острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). Прямая «возрастает» (идет вверх слева направо).
• Если $k < 0$, то угол $\alpha$ тупой ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$). Прямая «убывает» (идет вниз слева направо).
• Если $k = 0$, то угол $\alpha = 0^\circ$. Прямая горизонтальна и параллельна оси Ox (или совпадает с ней). Уравнение принимает вид $y = b$.
• Если прямая вертикальна и параллельна оси Oy, ее угол наклона $\alpha = 90^\circ$. Тангенс этого угла не определен, поэтому для таких прямых углового коэффициента не существует. Их уравнение имеет вид $x = c$, где $c$ — константа.

Ответ: Геометрически угловой коэффициент равен тангенсу угла, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс ($k = \tan(\alpha)$).

Способы нахождения

1. Из уравнения прямой: Если прямая задана уравнением вида $y = kx + b$, то угловой коэффициент — это множитель при $x$, то есть $k$. Если прямая задана общим уравнением $Ax + By + C = 0$ (при $B \neq 0$), то, выразив $y$, получим $y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$. Следовательно, угловой коэффициент $k = -\frac{A}{B}$.

2. По двум точкам: Если известны координаты двух точек на прямой, $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$, то угловой коэффициент можно вычислить как отношение приращения ординаты ($\Delta y$) к приращению абсциссы ($\Delta x$).

Формула: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$

Ответ: Угловой коэффициент можно найти как коэффициент $k$ в уравнении $y = kx + b$ или рассчитать по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ для двух точек $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, лежащих на прямой.

Свойства, связанные с угловым коэффициентом

Угловые коэффициенты используются для определения взаимного расположения прямых на плоскости.

• Условие параллельности прямых: Две прямые $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны: $k_1 = k_2$.
• Условие перпендикулярности прямых: Две прямые $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно -1: $k_1 \cdot k_2 = -1$. Это эквивалентно условию $k_2 = -\frac{1}{k_1}$.

Ответ: У параллельных прямых угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а у перпендикулярных прямых их произведение равно -1 ($k_1 \cdot k_2 = -1$).