Страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

5 Что такое координатные векторы?

Координатные векторы (также известные как орты или базисные векторы) — это фундаментальное понятие в векторной алгебре и аналитической геометрии. Это набор векторов, которые определяют направления осей в прямоугольной системе координат.

Основные свойства координатных векторов:

• Их длина (модуль) всегда равна единице. Поэтому их также называют единичными векторами.

• Каждый координатный вектор сонаправлен с положительным направлением своей координатной оси и откладывается от начала координат.

• Они взаимно перпендикулярны (ортогональны) друг другу.

Рассмотрим два основных случая.

1. На плоскости (в двумерной системе координат OXY)

Существует два координатных вектора:

• Вектор $\vec{i}$ — направлен вдоль оси абсцисс (оси OX). Его координаты: $\vec{i} = \{1; 0\}$.

• Вектор $\vec{j}$ — направлен вдоль оси ординат (оси OY). Его координаты: $\vec{j} = \{0; 1\}$.

Для них выполняются условия: $|\vec{i}| = 1$, $|\vec{j}| = 1$ и $\vec{i} \perp \vec{j}$.

Главное предназначение этих векторов — возможность представить любой другой вектор на плоскости в виде их линейной комбинации. Это называется разложением вектора по базису. Для любого вектора $\vec{a}$ с координатами $\{x_a; y_a\}$ справедливо равенство:

$\vec{a} = x_a \cdot \vec{i} + y_a \cdot \vec{j}$

Например, вектор $\vec{b} = \{3; -5\}$ можно разложить по координатным векторам так: $\vec{b} = 3\vec{i} - 5\vec{j}$.

2. В пространстве (в трехмерной системе координат OXYZ)

В пространстве к двум имеющимся добавляется третий координатный вектор:

• Вектор $\vec{i}$ — направлен вдоль оси OX. Координаты: $\vec{i} = \{1; 0; 0\}$.

• Вектор $\vec{j}$ — направлен вдоль оси OY. Координаты: $\vec{j} = \{0; 1; 0\}$.

• Вектор $\vec{k}$ — направлен вдоль оси аппликат (оси OZ). Координаты: $\vec{k} = \{0; 0; 1\}$.

Для них выполняются условия: $|\vec{i}| = 1$, $|\vec{j}| = 1$, $|\vec{k}| = 1$ и они взаимно перпендикулярны: $\vec{i} \perp \vec{j}$, $\vec{j} \perp \vec{k}$, $\vec{i} \perp \vec{k}$.

Любой вектор $\vec{p}$ в пространстве с координатами $\{x_p; y_p; z_p\}$ можно разложить по базису $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$:

$\vec{p} = x_p \cdot \vec{i} + y_p \cdot \vec{j} + z_p \cdot \vec{k}$

Например, вектор $\vec{c} = \{2; 8; -1\}$ раскладывается следующим образом: $\vec{c} = 2\vec{i} + 8\vec{j} - \vec{k}$.

Таким образом, координатные векторы создают "систему отсчета" для всех остальных векторов, позволяя работать с векторами через их числовые координаты.

Ответ: Координатные векторы — это единичные, взаимно перпендикулярные векторы ($\vec{i}, \vec{j}$ на плоскости; $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ в пространстве), которые сонаправлены с положительными направлениями соответствующих координатных осей. Они образуют базис, по которому любой вектор можно разложить, то есть представить в виде суммы этих векторов, умноженных на его координаты.

6 Сформулируйте и докажите утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам.

Формулировка утверждения

Любой вектор $\vec{a}$ в пространстве можно разложить по координатным векторам $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом. Иными словами, для любого вектора $\vec{a}$ существует единственная тройка чисел $x, y, z$ такая, что выполняется равенство:

$\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$

Числа $x, y, z$ называются координатами вектора $\vec{a}$ в данном базисе ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$). Запись $\vec{a} = \{x; y; z\}$ означает, что вектор $\vec{a}$ имеет такие координаты.

Здесь $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ — это координатные векторы (орты), которые являются единичными векторами, сонаправленными с осями координат $Ox, Oy, Oz$ соответственно в прямоугольной декартовой системе координат.

Доказательство

Доказательство состоит из двух частей: доказательства существования такого разложения и доказательства его единственности.

1. Существование разложения.

Пусть дана прямоугольная система координат $Oxyz$ и произвольный вектор $\vec{a}$. Отложим вектор $\vec{a}$ от начала координат $O(0; 0; 0)$. Пусть конец вектора попадёт в точку $A$ с координатами $(x; y; z)$. Таким образом, $\vec{a} = \vec{OA}$.

Проведём через точку $A$ плоскости, перпендикулярные осям координат. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим $A_x$, $A_y$ и $A_z$. По построению, точка $A_x$ лежит на оси $Ox$ и имеет координаты $(x; 0; 0)$. Аналогично, $A_y$ лежит на оси $Oy$ с координатами $(0; y; 0)$, а $A_z$ — на оси $Oz$ с координатами $(0; 0; z)$.

Вектор $\vec{OA}$ является диагональю прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{OA_x}$, $\vec{OA_y}$ и $\vec{OA_z}$. По правилу сложения векторов (правило параллелепипеда), мы можем записать:

$\vec{OA} = \vec{OA_x} + \vec{OA_y} + \vec{OA_z}$

Теперь выразим векторы $\vec{OA_x}$, $\vec{OA_y}$ и $\vec{OA_z}$ через координатные орты $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$.

• Вектор $\vec{OA_x}$ коллинеарен вектору $\vec{i}$ (так как лежит на оси $Ox$). Его длина равна $|\vec{OA_x}| = |x|$. Следовательно, $\vec{OA_x} = x \cdot \vec{i}$.
• Аналогично, вектор $\vec{OA_y}$ коллинеарен вектору $\vec{j}$, и его можно представить как $\vec{OA_y} = y \cdot \vec{j}$.
• Точно так же, вектор $\vec{OA_z}$ коллинеарен вектору $\vec{k}$, и $\vec{OA_z} = z \cdot \vec{k}$.

Подставив эти выражения в сумму векторов, получаем:

$\vec{a} = \vec{OA} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$

Таким образом, мы показали, что для любого вектора $\vec{a}$ существует разложение по координатным векторам, где коэффициентами являются координаты конца этого вектора, отложенного от начала координат.

2. Единственность разложения.

Предположим, что существует другое разложение вектора $\vec{a}$ по тем же координатным векторам:

$\vec{a} = x'\vec{i} + y'\vec{j} + z'\vec{k}$

Мы должны доказать, что $x = x'$, $y = y'$ и $z = z'$.

Приравняем два выражения для вектора $\vec{a}$:

$x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} = x'\vec{i} + y'\vec{j} + z'\vec{k}$

Перенесём все члены в левую часть уравнения:

$(x\vec{i} - x'\vec{i}) + (y\vec{j} - y'\vec{j}) + (z\vec{k} - z'\vec{k}) = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые:

$(x - x')\vec{i} + (y - y')\vec{j} + (z - z')\vec{k} = \vec{0}$

Координатные векторы $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ не компланарны (не лежат в одной плоскости), а значит, они линейно независимы. Линейная комбинация линейно независимых векторов равна нулевому вектору ($\vec{0}$) тогда и только тогда, когда все её коэффициенты равны нулю.

Следовательно, должны выполняться равенства:

$x - x' = 0$

$y - y' = 0$

$z - z' = 0$

Отсюда следует, что $x = x'$, $y = y'$ и $z = z'$. Это доказывает, что разложение вектора по координатным векторам единственно. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение, что любой вектор $\vec{a}$ можно представить, и притом единственным образом, в виде $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$, где $x, y, z$ — некоторые числа (координаты вектора), доказано путем установления существования такого разложения (через правило параллелепипеда для вектора, отложенного от начала координат) и его единственности (на основе линейной независимости некомпланарных координатных векторов $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$).

7 Что такое координаты вектора? Чему равны координаты координатных векторов? Как связаны между собой координаты равных векторов?

Что такое координаты вектора?

Координаты вектора — это числа, которые описывают его положение и направление относительно осей в системе координат. Существует два основных способа их определения:

1. Как разность координат конца и начала. Если вектор $\vec{AB}$ задан начальной точкой $A(x_1, y_1)$ и конечной точкой $B(x_2, y_2)$, то его координаты вычисляются по формуле: $\vec{AB} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1\}$. Эти числа показывают смещение по оси $Ox$ и $Oy$ соответственно.
2. Как коэффициенты разложения по базисным векторам. Любой вектор $\vec{a}$ на плоскости можно единственным образом представить в виде суммы координатных векторов $\vec{i}$ и $\vec{j}$, умноженных на некоторые числа $x$ и $y$: $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$. Эти числа $x$ и $y$ и называются координатами вектора $\vec{a}$ в данном базисе и записываются как $\vec{a} = \{x; y\}$.

Ответ: Координаты вектора — это упорядоченный набор чисел (коэффициентов), показывающих, как вектор раскладывается по базисным векторам координатных осей. Они равны разности соответствующих координат его конечной и начальной точек.

Чему равны координаты координатных векторов?

Координатные векторы (также называемые ортами) — это единичные векторы (их длина равна 1), которые сонаправлены с положительными направлениями осей координат. В двумерной декартовой системе координат это векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$.

• Вектор $\vec{i}$ сонаправлен с осью абсцисс (осью $Ox$). Его разложение по базису $(\vec{i}, \vec{j})$ имеет вид $\vec{i} = 1 \cdot \vec{i} + 0 \cdot \vec{j}$. Следовательно, его координаты равны $\{1; 0\}$.
• Вектор $\vec{j}$ сонаправлен с осью ординат (осью $Oy$). Его разложение по базису имеет вид $\vec{j} = 0 \cdot \vec{i} + 1 \cdot \vec{j}$. Следовательно, его координаты равны $\{0; 1\}$.

Ответ: Координаты координатного вектора $\vec{i}$ равны $\{1; 0\}$, а координаты вектора $\vec{j}$ равны $\{0; 1\}$.

Как связаны между собой координаты равных векторов?

Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление. В координатной форме это свойство выражается очень просто.

Пусть есть два вектора: $\vec{a} = \{a_1; a_2\}$ и $\vec{b} = \{b_1; b_2\}$.

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты равны. То есть: $\vec{a} = \vec{b} \iff a_1 = b_1 \text{ и } a_2 = b_2$.

Это означает, что для равенства векторов необходимо и достаточно, чтобы их проекции на каждую из координатных осей были равны.

Ответ: Координаты равных векторов соответственно равны друг другу.

8 Сформулируйте и докажите правила нахождения координат суммы и разности векторов, а также произведения вектора на число по заданным координатам векторов.

Координаты суммы векторов

Формулировка правила: Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Доказательство: Пусть даны два вектора в двумерном пространстве $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$. Любой вектор можно представить в виде разложения по координатным векторам (ортам) $\vec{i}\{1; 0\}$ и $\vec{j}\{0; 1\}$.
Разложение для $\vec{a}$: $\vec{a} = x_1\vec{i} + y_1\vec{j}$.
Разложение для $\vec{b}$: $\vec{b} = x_2\vec{i} + y_2\vec{j}$.
Сумма векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится путем сложения их разложений. Используя свойства операций над векторами (переместительный и сочетательный законы сложения, распределительный закон умножения на число), получаем:
$\vec{a} + \vec{b} = (x_1\vec{i} + y_1\vec{j}) + (x_2\vec{i} + y_2\vec{j}) = (x_1\vec{i} + x_2\vec{i}) + (y_1\vec{j} + y_2\vec{j}) = (x_1 + x_2)\vec{i} + (y_1 + y_2)\vec{j}$.
Полученное выражение является разложением вектора суммы $\vec{a} + \vec{b}$ по базисным векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$. Коэффициенты при базисных векторах в этом разложении и являются координатами результирующего вектора.
Следовательно, координаты вектора $\vec{a} + \vec{b}$ равны $\{x_1 + x_2; y_1 + y_2\}$. Доказательство для трехмерного пространства и пространства большей размерности аналогично.

Ответ: Если даны векторы $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$, то координаты их суммы $\vec{a} + \vec{b}$ равны $\{x_1 + x_2; y_1 + y_2\}$.

Координаты разности векторов

Формулировка правила: Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов (уменьшаемого и вычитаемого).

Доказательство: Пусть даны два вектора $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$. Разность векторов $\vec{a} - \vec{b}$ можно определить как сумму вектора $\vec{a}$ и вектора $(-\vec{b})$, противоположного вектору $\vec{b}$.
Сначала найдем координаты вектора $-\vec{b}$. Если $\vec{b} = x_2\vec{i} + y_2\vec{j}$, то $-\vec{b} = -1 \cdot \vec{b} = -1 \cdot (x_2\vec{i} + y_2\vec{j}) = (-x_2)\vec{i} + (-y_2)\vec{j}$. Значит, вектор $-\vec{b}$ имеет координаты $\{-x_2; -y_2\}$.
Теперь, используя правило сложения векторов в координатах, найдем координаты вектора $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$:
$\vec{a} + (-\vec{b})$ имеет координаты $\{x_1 + (-x_2); y_1 + (-y_2)\}$, что равно $\{x_1 - x_2; y_1 - y_2\}$.
Следовательно, координаты вектора $\vec{a} - \vec{b}$ равны $\{x_1 - x_2; y_1 - y_2\}$.

Ответ: Если даны векторы $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$, то координаты их разности $\vec{a} - \vec{b}$ равны $\{x_1 - x_2; y_1 - y_2\}$.

Координаты произведения вектора на число

Формулировка правила: Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Доказательство: Пусть дан вектор $\vec{a}\{x; y\}$ и некоторое действительное число $k$. Разложим вектор $\vec{a}$ по базисным векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$:
$\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$.
Чтобы найти вектор $k\vec{a}$, умножим обе части этого равенства на число $k$. Используя свойства операций над векторами (сочетательный и распределительный законы), получаем:
$k\vec{a} = k(x\vec{i} + y\vec{j}) = k(x\vec{i}) + k(y\vec{j}) = (kx)\vec{i} + (ky)\vec{j}$.
Мы получили разложение вектора $k\vec{a}$ по базису. Коэффициенты $kx$ и $ky$ являются его координатами.
Следовательно, координаты вектора $k\vec{a}$ равны $\{kx; ky\}$.

Ответ: Если дан вектор $\vec{a}\{x; y\}$ и число $k$, то координаты вектора-произведения $k\vec{a}$ равны $\{kx; ky\}$.

9 Что такое радиус-вектор точки? Докажите, что координаты точки равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

Что такое радиус-вектор точки?

Радиус-вектор точки M — это направленный отрезок (вектор), у которого начало находится в начале координат (точка O), а конец — в данной точке M.

Радиус-вектор однозначно определяет положение точки в пространстве или на плоскости относительно выбранной системы координат. Обычно радиус-вектор точки M обозначается как $\vec{r}_M$ или $\vec{OM}$. Таким образом, каждой точке M соответствует единственный радиус-вектор, и наоборот, каждый радиус-вектор определяет единственную точку — свой конец.

Ответ: Радиус-вектор точки — это вектор, проведенный из начала координат в эту точку.

Докажите, что координаты точки равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

Рассмотрим прямоугольную (декартову) систему координат. Для общности возьмем трехмерное пространство Oxyz. Начало координат, точка O, имеет координаты $(0, 0, 0)$.

Пусть в этой системе координат задана произвольная точка M с координатами $(x, y, z)$.

По определению, радиус-вектором точки M является вектор $\vec{OM}$, соединяющий начало координат O с точкой M.

Координаты любого вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, находятся путем вычитания соответствующих координат начала из координат конца. Если вектор $\vec{AB}$ имеет начало в точке A$(x_A, y_A, z_A)$ и конец в точке B$(x_B, y_B, z_B)$, то его координаты вычисляются по формулам:

$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$

Применим эту формулу для нахождения координат радиус-вектора $\vec{OM}$. В данном случае начальная точка — это O$(0, 0, 0)$, а конечная — M$(x, y, z)$.

Тогда координаты вектора $\vec{OM}$ будут:

$x_{\vec{OM}} = x - 0 = x$

$y_{\vec{OM}} = y - 0 = y$

$z_{\vec{OM}} = z - 0 = z$

Следовательно, радиус-вектор $\vec{OM}$ имеет координаты $(x, y, z)$.

Сравнивая координаты точки M $(x, y, z)$ и координаты ее радиус-вектора $\vec{OM}$ $(x, y, z)$, мы видим, что они полностью совпадают. Что и требовалось доказать.

Ответ: Координаты радиус-вектора $\vec{OM}$ вычисляются как разность координат его конца (точки M) и начала (точки O). Поскольку координаты начала координат равны нулю, координаты радиус-вектора оказываются в точности равны координатам точки M.

10 Выведите формулы для вычисления координат вектора по координатам его начала и конца.

Пусть в некоторой системе координат заданы две точки: точка начала вектора $A$ и точка конца вектора $B$.

Координаты точки $A$ (начало вектора): $(x_1, y_1, z_1)$.
Координаты точки $B$ (конец вектора): $(x_2, y_2, z_2)$.

Вектор, идущий из точки $A$ в точку $B$, обозначается как $\vec{AB}$. Наша задача — найти его координаты.

Рассмотрим радиус-векторы точек $A$ и $B$. Радиус-вектор — это вектор, проведенный из начала координат $O(0, 0, 0)$ в данную точку.

• Радиус-вектор точки $A$ — это вектор $\vec{OA}$. Его координаты совпадают с координатами точки $A$: $\vec{OA} = \{x_1, y_1, z_1\}$.
• Радиус-вектор точки $B$ — это вектор $\vec{OB}$. Его координаты совпадают с координатами точки $B$: $\vec{OB} = \{x_2, y_2, z_2\}$.

Векторы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{AB}$ образуют треугольник $OAB$. По правилу треугольника для сложения векторов (также известному как правило Шаля) мы можем записать следующее равенство:

$\vec{OA} + \vec{AB} = \vec{OB}$

Из этого равенства можно выразить искомый вектор $\vec{AB}$, перенеся $\vec{OA}$ в правую часть:

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

Данное векторное равенство означает, что для нахождения координат вектора $\vec{AB}$ нужно из координат вектора $\vec{OB}$ вычесть соответствующие координаты вектора $\vec{OA}$.

Пусть вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $\{a_x, a_y, a_z\}$. Тогда, подставляя координаты векторов $\vec{OB}$ и $\vec{OA}$, получаем:

$a_x = x_2 - x_1$
$a_y = y_2 - y_1$
$a_z = z_2 - z_1$

Эти формулы и есть искомые. Они показывают, что каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Для двумерного случая (на плоскости) рассуждения абсолютно аналогичны. Если точка $A$ имеет координаты $(x_1, y_1)$, а точка $B$ — $(x_2, y_2)$, то координаты вектора $\vec{AB}=\{a_x, a_y\}$ вычисляются как:

$a_x = x_2 - x_1$
$a_y = y_2 - y_1$

Ответ: Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки. Если вектор $\vec{AB}$ начинается в точке $A(x_1, y_1, z_1)$ и заканчивается в точке $B(x_2, y_2, z_2)$, то его координаты $\{a_x, a_y, a_z\}$ вычисляются по формулам:
$a_x = x_2 - x_1$
$a_y = y_2 - y_1$
$a_z = z_2 - z_1$

11 Выведите формулы для вычисления координат середины отрезка по координатам его концов.

Для вывода формул координат середины отрезка воспользуемся векторным методом. Пусть в прямоугольной системе координат даны две точки — концы отрезка: $A$ с координатами $(x_1, y_1, z_1)$ и $B$ с координатами $(x_2, y_2, z_2)$. Положение этих точек можно описать радиус-векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, проведенными из начала координат $O$. Обозначим их как $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно. Таким образом, $\vec{a} = \{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2, z_2\}$.

Пусть точка $M$ является серединой отрезка $AB$. Её положение задается радиус-вектором $\vec{OM}$, который мы обозначим как $\vec{m}$. Мы хотим найти координаты этого вектора, $(x_M, y_M, z_M)$.

По правилу сложения векторов (правилу треугольника), радиус-вектор точки $M$ можно выразить как сумму векторов $\vec{OA}$ и $\vec{AM}$:

$\vec{OM} = \vec{OA} + \vec{AM}$

Поскольку $M$ — это середина отрезка $AB$, то вектор $\vec{AM}$ равен половине вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$

Вектор $\vec{AB}$ можно найти как разность радиус-векторов его конца и начала:

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$

Теперь подставим все выражения в исходную формулу для $\vec{OM}$:

$\vec{m} = \vec{a} + \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

Упростим это выражение:

$\vec{m} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

Мы получили общую векторную формулу: радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов. Координаты точки равны компонентам ее радиус-вектора. Следовательно, каждая координата точки $M$ будет равна полусумме соответствующих координат точек $A$ и $B$.

Если отрезок задан на плоскости (в 2D) координатами концов $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, то координаты его середины $M(x_M, y_M)$ вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Если отрезок задан в пространстве (в 3D) координатами концов $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$, то координаты его середины $M(x_M, y_M, z_M)$ вычисляются аналогично:

$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$

$z_M = \frac{z_1 + z_2}{2}$

Ответ: Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов. Для отрезка с концами в точках $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ на плоскости, координаты его середины $M(x_M, y_M)$ находятся по формулам:
$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$
$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Для отрезка с концами в точках $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ в пространстве, координаты его середины $M(x_M, y_M, z_M)$ находятся по формулам:
$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$
$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$
$z_M = \frac{z_1 + z_2}{2}$

12 Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам.

Формулу для вычисления длины вектора по его координатам можно вывести с помощью теоремы Пифагора. Рассмотрим два случая: вектор на плоскости и вектор в пространстве.

1. Вектор на плоскости (двумерный случай)

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат задан вектор $\vec{a}$ с координатами $(a_x, a_y)$. Это означает, что если отложить этот вектор от начала координат, точки $O(0, 0)$, то его конец придется на точку $A$ с координатами $(a_x, a_y)$.

Для нахождения длины вектора $|\vec{a}|$, которая равна длине отрезка $OA$, рассмотрим прямоугольный треугольник $OBA$, где точка $B$ является проекцией точки $A$ на ось абсцисс. Координаты точки $B$ будут $(a_x, 0)$.

Катеты этого треугольника равны:

• Длина катета $OB$ равна абсолютному значению абсциссы точки $A$, то есть $|a_x|$.
• Длина катета $AB$ равна абсолютному значению ординаты точки $A$, то есть $|a_y|$.

Гипотенуза $OA$ является длиной нашего вектора $\vec{a}$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$|OA|^2 = |OB|^2 + |AB|^2$

Подставим длины катетов:

$|\vec{a}|^2 = (a_x)^2 + (a_y)^2$

Извлекая квадратный корень, получаем формулу для длины вектора на плоскости:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$

Ответ: Длина вектора $\vec{a}(a_x, a_y)$ на плоскости вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$.

2. Вектор в пространстве (трехмерный случай)

Теперь рассмотрим вектор $\vec{b}$ в трехмерном пространстве с координатами $(b_x, b_y, b_z)$. Отложим его от начала координат $O(0, 0, 0)$ до точки $B(b_x, b_y, b_z)$. Длина вектора $|\vec{b}|$ равна длине диагонали $OB$ прямоугольного параллелепипеда, построенного на осях координат с ребрами длиной $|b_x|$, $|b_y|$ и $|b_z|$.

Для вывода формулы применим теорему Пифагора дважды.

Сначала рассмотрим проекцию вектора $\vec{b}$ на плоскость $Oxy$. Это будет вектор с концом в точке $C(b_x, b_y, 0)$. Длина диагонали $OC$ основания параллелепипеда, согласно формуле для плоского случая, равна:

$|OC| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $OCB$. Его катетами являются отрезок $OC$ и отрезок $CB$. Длина катета $OC$ нам известна. Длина катета $CB$ равна аппликате точки $B$, то есть $|b_z|$. Гипотенуза $OB$ — это и есть наш вектор $\vec{b}$.

Применяем теорему Пифагора для треугольника $OCB$:

$|OB|^2 = |OC|^2 + |CB|^2$

Подставляем известные значения:

$|\vec{b}|^2 = (\sqrt{b_x^2 + b_y^2})^2 + (b_z)^2$

$|\vec{b}|^2 = b_x^2 + b_y^2 + b_z^2$

Извлекая квадратный корень, получаем искомую формулу для длины вектора в пространстве:

$|\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}$

Ответ: Длина вектора $\vec{b}(b_x, b_y, b_z)$ в пространстве вычисляется по формуле $|\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}$.

Общий вывод: Длина (модуль) вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

13 Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя точками по их координатам.

Для вывода формулы расстояния между двумя точками воспользуемся теоремой Пифагора. Рассмотрим две точки в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости: точка $A$ с координатами $(x_1, y_1)$ и точка $B$ с координатами $(x_2, y_2)$. Расстояние между этими точками, обозначим его как $d$, равно длине отрезка $AB$.

Достроим прямоугольный треугольник, где отрезок $AB$ будет гипотенузой. Для этого проведем через точку $A$ прямую, параллельную оси абсцисс (оси $Ox$), и через точку $B$ прямую, параллельную оси ординат (оси $Oy$). Точку пересечения этих прямых обозначим как $C$. Координаты точки $C$ будут $(x_2, y_1)$.

Таким образом, мы получили прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Катеты этого треугольника $AC$ и $BC$ параллельны координатным осям.

Длину катета $AC$ можно найти как модуль разности координат по оси $x$: $AC = |x_2 - x_1|$

Длину катета $BC$ можно найти как модуль разности координат по оси $y$: $BC = |y_2 - y_1|$

Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: $AB^2 = AC^2 + BC^2$

Подставив выражения для длин катетов, получим: $d^2 = (|x_2 - x_1|)^2 + (|y_2 - y_1|)^2$

Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, знаки модуля можно убрать: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

Чтобы найти расстояние $d$, извлечем квадратный корень из обеих частей равенства. Поскольку расстояние — величина неотрицательная, мы берем арифметический (положительный) корень.

В результате получаем формулу для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости по их координатам: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Эта формула является обобщением теоремы Пифагора для координатной плоскости. Аналогичная формула для точек в трехмерном пространстве $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ имеет вид: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$.

Ответ: Формула для вычисления расстояния $d$ между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ на плоскости имеет вид: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

14 Приведите пример решения геометрической задачи с применением метода координат.

Метод координат — это один из эффективных способов решения геометрических задач. Его суть заключается во введении на плоскости (или в пространстве) прямоугольной системы координат, что позволяет перевести геометрические условия задачи на язык алгебры. Любая точка представляется парой (или тройкой) чисел, а фигуры и их свойства описываются уравнениями и неравенствами. После этого решение задачи сводится к алгебраическим преобразованиям. Рассмотрим применение этого метода на конкретном примере.

Задача: Доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Решение:

1. Введем прямоугольную систему координат $Oxy$. Для удобства вычислений расположим ромб $ABCD$ так, чтобы одна из его вершин, например $A$, совпала с началом координат. Пусть сторона $AD$ ромба лежит на оси абсцисс ($Ox$).

2. Определим координаты вершин ромба. Обозначим длину стороны ромба как $a$, где $a > 0$.
Вершина $A$ находится в начале координат, поэтому ее координаты $A(0, 0)$.
Вершина $D$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии $a$ от начала координат, следовательно, ее координаты $D(a, 0)$.
Вершина $B$ также находится на расстоянии $a$ от вершины $A$. Обозначим ее координаты как $B(b, h)$. По формуле расстояния между двумя точками, квадрат расстояния $AB$ равен $(b-0)^2 + (h-0)^2 = b^2+h^2$. Так как $AB = a$, мы получаем важное соотношение: $b^2 + h^2 = a^2$.
Вершина $C$ получается из вершины $B$ параллельным переносом на вектор $\vec{AD}$. Координаты вектора $\vec{AD}$ равны $(a-0, 0-0)$, то есть $(a, 0)$. Таким образом, координаты вершины $C$ вычисляются как сумма координат точки $B$ и вектора $\vec{AD}$: $C(b+a, h+0)$, то есть $C(a+b, h)$.

Итак, мы определили координаты всех четырех вершин ромба: $A(0, 0)$, $B(b, h)$, $C(a+b, h)$ и $D(a, 0)$.

3. Теперь докажем перпендикулярность диагоналей $AC$ и $BD$. В координатном методе перпендикулярность двух отрезков (или прямых) удобно доказывать через скалярное произведение их векторов: если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны. Найдем координаты векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$.
Координаты вектора $\vec{AC}$ равны разности координат его конца и начала: $\vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (a+b - 0, h - 0) = (a+b, h)$.
Координаты вектора $\vec{BD}$ также находим по разности координат: $\vec{BD} = (x_D - x_B, y_D - y_B) = (a - b, 0 - h) = (a-b, -h)$.

4. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$. Скалярное произведение векторов $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $x_1x_2 + y_1y_2$.
$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (a+b)(a-b) + h(-h)$
Используя формулу разности квадратов, получаем:
$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (a^2 - b^2) - h^2 = a^2 - b^2 - h^2 = a^2 - (b^2 + h^2)$.

5. Вспомним соотношение, полученное в пункте 2: $b^2 + h^2 = a^2$. Подставим его в выражение для скалярного произведения:
$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = a^2 - a^2 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ равно нулю, эти векторы ортогональны (перпендикулярны). Следовательно, диагонали ромба $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Применение метода координат, в частности, введение системы координат и использование векторов, позволило доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

15 Какое уравнение называется уравнением данной линии? Приведите пример.

Какое уравнение называется уравнением данной линии?

Уравнением данной линии (или кривой) в заданной системе координат называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки этой линии и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.

Другими словами, уравнение $F(x, y) = 0$ является уравнением линии $L$, если для его справедливости необходимо и достаточно, чтобы точка с координатами $(x, y)$ принадлежала линии $L$. Это означает, что должны выполняться два условия:

1) Если точка $M(x_0, y_0)$ лежит на линии $L$, то ее координаты $(x_0, y_0)$ при подстановке в уравнение обращают его в верное числовое равенство: $F(x_0, y_0) = 0$.

2) Если точка $N(x_1, y_1)$ не лежит на линии $L$, то ее координаты $(x_1, y_1)$ не удовлетворяют уравнению: $F(x_1, y_1) \neq 0$.

Таким образом, уравнение линии — это аналитический способ задания линии как множества точек, обладающих общим геометрическим свойством.

Ответ: Уравнением данной линии называется уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты всех точек, принадлежащих этой линии, и только их.

Приведите пример.

Рассмотрим в качестве примера окружность с центром в начале координат $O(0, 0)$ и радиусом $R$.

Основное геометрическое свойство окружности заключается в том, что все ее точки находятся на одинаковом расстоянии, равном радиусу $R$, от центра.

Пусть $M(x, y)$ — произвольная точка на плоскости. Расстояние от этой точки до начала координат $O(0, 0)$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками: $d = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Для того чтобы точка $M(x, y)$ лежала на нашей окружности, необходимо и достаточно, чтобы ее расстояние до центра было равно $R$, то есть $d = R$.

Получаем уравнение: $\sqrt{x^2 + y^2} = R$.

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат. В результате получим каноническое уравнение окружности с центром в начале координат:

$x^2 + y^2 = R^2$

Это уравнение является уравнением данной окружности, так как: 1) координаты любой точки на окружности удовлетворяют ему, поскольку расстояние от нее до центра равно $R$; 2) координаты любой точки, не лежащей на окружности, не удовлетворяют ему, так как расстояние от такой точки до центра не равно $R$.

Например, уравнение $x^2 + y^2 = 9$ задает окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: Примером уравнения линии является уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $R$: $x^2 + y^2 = R^2$.

16 Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в данной точке.

По определению, окружность — это множество всех точек на плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки, называемой центром окружности. Это расстояние называется радиусом.

Рассмотрим прямоугольную систему координат $Oxy$. Пусть центр окружности, точка $C$, имеет заданные координаты $(x_0, y_0)$, а радиус окружности равен заданной величине $R$, где $R > 0$.

Пусть $M(x, y)$ — произвольная точка, лежащая на этой окружности. Координаты $(x, y)$ являются текущими координатами точек окружности.

Исходя из определения окружности, расстояние от центра $C$ до любой точки $M$ на ней постоянно и равно радиусу $R$. Математически это записывается как равенство $|CM| = R$.

Формула для вычисления расстояния между двумя точками $A(x_a, y_a)$ и $B(x_b, y_b)$ на плоскости имеет вид: $d = \sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2}$.

Применим эту формулу для нахождения расстояния между точками $C(x_0, y_0)$ и $M(x, y)$: $|CM| = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$.

Так как $|CM| = R$, мы можем приравнять полученное выражение для расстояния к радиусу $R$ и составить уравнение: $\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} = R$.

Для того чтобы получить каноническое уравнение окружности, избавимся от знака квадратного корня, возведя обе части равенства в квадрат. Это преобразование является равносильным, поскольку обе части уравнения неотрицательны ($R > 0$, а значение квадратного корня по определению неотрицательно).

$(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})^2 = R^2$

В результате получаем: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Это и есть искомое уравнение окружности, которое связывает координаты $x$ и $y$ любой точки, лежащей на окружности, с координатами ее центра $(x_0, y_0)$ и квадратом ее радиуса $R^2$.

Ответ: Уравнение окружности радиуса $R$ с центром в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

17 Напишите уравнение окружности данного радиуса с центром в начале координат.

Общее уравнение окружности в декартовой системе координат имеет вид:

$ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 $

где $ (x_0, y_0) $ — это координаты центра окружности, а $ R $ — это ее радиус.

По условию задачи, центр окружности находится в начале координат. Координаты начала координат — $ (0, 0) $. Следовательно, в нашем случае $ x_0 = 0 $ и $ y_0 = 0 $.

Подставим эти значения в общее уравнение окружности:

$ (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = R^2 $

Упростив выражение, получаем искомое уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $ R $:

$ x^2 + y^2 = R^2 $

Ответ: $ x^2 + y^2 = R^2 $

18 Выведите уравнение данной прямой в прямоугольной системе координат.

Для того чтобы вывести уравнение прямой в прямоугольной системе координат, необходимо определить её ключевые параметры. Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой), а $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $Y$.

Поскольку в условии задачи отсутствует изображение самой прямой, мы рассмотрим общий алгоритм, который позволяет найти уравнение для любой прямой, заданной на графике.

Шаг 1: Определение координат двух точек на прямой
Внимательно посмотрите на график и найдите две любые точки, через которые проходит прямая, с легко читаемыми, желательно целочисленными, координатами. Обозначим эти точки как $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$.

Шаг 2: Вычисление углового коэффициента (k)
Угловой коэффициент показывает, насколько изменяется координата $y$ при изменении координаты $x$ на единицу. Он рассчитывается по формуле:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Шаг 3: Нахождение свободного члена (b)
После нахождения коэффициента $k$, подставьте его значение и координаты любой из двух точек (например, $A(x_1, y_1)$) в уравнение прямой $y = kx + b$:
$y_1 = k \cdot x_1 + b$
Из этого равенства выразите и вычислите $b$:
$b = y_1 - k \cdot x_1$
Стоит отметить, что если прямая пересекает ось $Y$ в точке с целочисленной координатой, то значение $b$ можно просто определить по графику — это и будет ордината точки пересечения.

Шаг 4: Запись итогового уравнения
Подставьте найденные значения $k$ и $b$ в уравнение $y = kx + b$, чтобы получить окончательный вид уравнения данной прямой.

Пример решения для гипотетической прямой
Предположим, что прямая, которую нужно было описать, проходит через точки $M(2, 5)$ и $N(-2, -3)$.

1. Находим угловой коэффициент k:
Используем координаты точек $M(2, 5)$ и $N(-2, -3)$:
$k = \frac{-3 - 5}{-2 - 2} = \frac{-8}{-4} = 2$

2. Находим свободный член b:
Возьмем точку $M(2, 5)$ и подставим ее координаты и значение $k=2$ в уравнение прямой:
$y = kx + b$
$5 = 2 \cdot 2 + b$
$5 = 4 + b$
$b = 5 - 4 = 1$

3. Записываем итоговое уравнение прямой:
$y = 2x + 1$

Особые случаи:
- Горизонтальная прямая: Если прямая параллельна оси $X$, ее угловой коэффициент $k=0$. Уравнение имеет вид $y = c$, где $c$ — ордината любой точки на прямой.
- Вертикальная прямая: Если прямая параллельна оси $Y$, ее угловой коэффициент не определен. Ее уравнение имеет вид $x = c$, где $c$ — абсцисса любой точки на прямой.

Ответ: Так как в условии задачи отсутствует изображение графика прямой, предоставить конкретное уравнение невозможно. Выше изложен общий метод решения. Для гипотетического примера с точками $M(2, 5)$ и $N(-2, -3)$ итоговое уравнение прямой: $y = 2x + 1$.

19 Что такое угловой коэффициент прямой?

Определение

Угловой коэффициент прямой — это число, которое характеризует наклон данной прямой относительно оси абсцисс (оси Ox) в прямоугольной системе координат.

В уравнении прямой, записанном в виде $y = kx + b$, угловым коэффициентом является число $k$. Этот вид уравнения так и называется — «уравнение прямой с угловым коэффициентом». В этом уравнении:

• $k$ — угловой коэффициент.
• $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью ординат (осью Oy).

Ответ: Угловой коэффициент ($k$) в уравнении прямой $y = kx + b$ — это число, характеризующее наклон прямой.

Геометрический смысл

Геометрически угловой коэффициент равен тангенсу угла $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс (Ox). Угол отсчитывается против часовой стрелки.

Формула: $k = \tan(\alpha)$

Из этого следуют важные свойства:

• Если $k > 0$, то угол $\alpha$ острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). Прямая «возрастает» (идет вверх слева направо).
• Если $k < 0$, то угол $\alpha$ тупой ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$). Прямая «убывает» (идет вниз слева направо).
• Если $k = 0$, то угол $\alpha = 0^\circ$. Прямая горизонтальна и параллельна оси Ox (или совпадает с ней). Уравнение принимает вид $y = b$.
• Если прямая вертикальна и параллельна оси Oy, ее угол наклона $\alpha = 90^\circ$. Тангенс этого угла не определен, поэтому для таких прямых углового коэффициента не существует. Их уравнение имеет вид $x = c$, где $c$ — константа.

Ответ: Геометрически угловой коэффициент равен тангенсу угла, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс ($k = \tan(\alpha)$).

Способы нахождения

1. Из уравнения прямой: Если прямая задана уравнением вида $y = kx + b$, то угловой коэффициент — это множитель при $x$, то есть $k$. Если прямая задана общим уравнением $Ax + By + C = 0$ (при $B \neq 0$), то, выразив $y$, получим $y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$. Следовательно, угловой коэффициент $k = -\frac{A}{B}$.

2. По двум точкам: Если известны координаты двух точек на прямой, $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$, то угловой коэффициент можно вычислить как отношение приращения ординаты ($\Delta y$) к приращению абсциссы ($\Delta x$).

Формула: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$

Ответ: Угловой коэффициент можно найти как коэффициент $k$ в уравнении $y = kx + b$ или рассчитать по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ для двух точек $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, лежащих на прямой.

Свойства, связанные с угловым коэффициентом

Угловые коэффициенты используются для определения взаимного расположения прямых на плоскости.

• Условие параллельности прямых: Две прямые $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны: $k_1 = k_2$.
• Условие перпендикулярности прямых: Две прямые $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно -1: $k_1 \cdot k_2 = -1$. Это эквивалентно условию $k_2 = -\frac{1}{k_1}$.

Ответ: У параллельных прямых угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а у перпендикулярных прямых их произведение равно -1 ($k_1 \cdot k_2 = -1$).

20 Докажите, что: две параллельные прямые, не параллельные оси Oy, имеют одинаковые угловые коэффициенты; если две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти прямые параллельны.

две параллельные прямые, не параллельные оси Oy, имеют одинаковые угловые коэффициенты
Пусть даны две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$, которые не параллельны оси $Oy$. Так как эти прямые не являются вертикальными, их можно представить уравнениями с угловым коэффициентом:
$l_1: y = k_1x + b_1$
$l_2: y = k_2x + b_2$
Здесь $k_1$ и $k_2$ – это угловые коэффициенты прямых $l_1$ и $l_2$ соответственно.
Угловой коэффициент прямой по определению равен тангенсу угла, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс ($Ox$). Обозначим эти углы наклона как $\alpha_1$ для прямой $l_1$ и $\alpha_2$ для прямой $l_2$. Таким образом:
$k_1 = \tan(\alpha_1)$
$k_2 = \tan(\alpha_2)$
Поскольку прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны ($l_1 \parallel l_2$), а ось $Ox$ является для них секущей, то углы $\alpha_1$ и $\alpha_2$ являются соответственными. Согласно свойству параллельных прямых, соответственные углы равны: $\alpha_1 = \alpha_2$.
Если углы равны, то равны и их тангенсы (так как прямые не перпендикулярны оси $Ox$, углы не равны $90^\circ$ и тангенсы для них определены).
Следовательно, $\tan(\alpha_1) = \tan(\alpha_2)$.
Из этого следует, что $k_1 = k_2$. Таким образом, угловые коэффициенты параллельных прямых равны.
Ответ: Доказано.

если две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти прямые параллельны
Пусть даны две прямые $l_1$ и $l_2$, у которых одинаковые угловые коэффициенты, равные $k$. Уравнения этих прямых можно записать в виде:
$l_1: y = kx + b_1$
$l_2: y = kx + b_2$
Рассмотрим два возможных случая:
1. Если $b_1 = b_2$, то уравнения прямых $y = kx + b_1$ и $y = kx + b_2$ полностью совпадают. Это означает, что $l_1$ и $l_2$ – это одна и та же прямая. Совпадающие прямые по определению являются параллельными.
2. Если $b_1 \neq b_2$. Докажем методом от противного. Предположим, что прямые $l_1$ и $l_2$ не параллельны, а значит, они пересекаются в некоторой точке $M(x_0, y_0)$.
Если точка $M$ принадлежит обеим прямым, то её координаты должны удовлетворять обоим уравнениям:
$y_0 = kx_0 + b_1$
$y_0 = kx_0 + b_2$
Приравнивая правые части этих равенств, получаем: $kx_0 + b_1 = kx_0 + b_2$.
Вычитая из обеих частей $kx_0$, получаем $b_1 = b_2$.
Это равенство противоречит нашему исходному условию $b_1 \neq b_2$. Следовательно, предположение о том, что прямые пересекаются, было неверным. Две различные прямые на плоскости, которые не пересекаются, по определению являются параллельными.
Таким образом, в обоих случаях прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны.
Ответ: Доказано.

21 Напишите уравнения прямых, проходящих через данную точку М₀ (х₀; у₀) и параллельных осям координат.

Для нахождения уравнений искомых прямых рассмотрим два случая, так как в декартовой системе координат две оси: ось абсцисс (Ox) и ось ординат (Oy).

Прямая, параллельная оси абсцисс (Ox)

Прямая, параллельная оси абсцисс, является горизонтальной линией. Для любой точки, принадлежащей такой прямой, координата $y$ имеет постоянное значение. Поскольку искомая прямая проходит через точку $M_0(x_0; y_0)$, то это постоянное значение должно быть равно $y_0$. Таким образом, для любой точки $(x, y)$ на этой прямой будет выполняться равенство $y = y_0$. Это уравнение не зависит от переменной $x$, что и означает параллельность оси Ox.

Ответ: $y = y_0$

Прямая, параллельная оси ординат (Oy)

Прямая, параллельная оси ординат, является вертикальной линией. Для любой точки, принадлежащей такой прямой, координата $x$ имеет постоянное значение. Так как искомая прямая проходит через точку $M_0(x_0; y_0)$, то это постоянное значение должно быть равно $x_0$. Таким образом, для любой точки $(x, y)$ на этой прямой будет выполняться равенство $x = x_0$. Это уравнение не зависит от переменной $y$, что означает параллельность оси Oy.

Ответ: $x = x_0$

22 Напишите уравнения осей координат.

Уравнения осей координат — это математические выражения, которые описывают множество всех точек, принадлежащих этим осям. Поскольку в вопросе не уточнена размерность пространства, рассмотрим оба наиболее распространенных случая: уравнения осей на двумерной плоскости и в трехмерном пространстве.

Уравнения осей на плоскости (в системе координат $Oxy$)

Ось абсцисс ($Ox$)
Ось абсцисс (или ось $x$) представляет собой горизонтальную прямую. Отличительным свойством всех точек, лежащих на этой оси, является то, что их вторая координата (ордината) всегда равна нулю. Координаты любой точки на оси $Ox$ можно записать как $(x, 0)$, где $x$ — любое действительное число. Следовательно, уравнение, описывающее все точки этой оси, имеет вид:
Ответ: $y = 0$

Ось ординат ($Oy$)
Ось ординат (или ось $y$) представляет собой вертикальную прямую. Все точки, лежащие на этой оси, имеют первую координату (абсциссу), равную нулю. Координаты любой точки на оси $Oy$ можно записать как $(0, y)$, где $y$ — любое действительное число. Уравнение, описывающее все точки этой оси, соответственно, имеет вид:
Ответ: $x = 0$

Уравнения осей в пространстве (в системе координат $Oxyz$)

В трехмерном пространстве каждая ось координат является прямой, образованной пересечением двух координатных плоскостей. Поэтому для задания оси в пространстве требуется система из двух уравнений.

Ось абсцисс ($Ox$)
Эта ось является линией пересечения плоскости $Oxy$ (задается уравнением $z=0$) и плоскости $Oxz$ (задается уравнением $y=0$). Таким образом, любая точка на оси $Ox$ должна удовлетворять обоим этим условиям одновременно, то есть ее координаты $y$ и $z$ должны быть равны нулю. Координаты точек на этой оси имеют вид $(x, 0, 0)$.
Ответ: $\begin{cases} y = 0 \\ z = 0 \end{cases}$

Ось ординат ($Oy$)
Эта ось является линией пересечения плоскости $Oxy$ (уравнение $z=0$) и плоскости $Oyz$ (уравнение $x=0$). Для любой точки на оси $Oy$ ее координаты $x$ и $z$ должны быть равны нулю. Координаты точек на этой оси имеют вид $(0, y, 0)$.
Ответ: $\begin{cases} x = 0 \\ z = 0 \end{cases}$

Ось аппликат ($Oz$)
Эта ось является линией пересечения плоскости $Oxz$ (уравнение $y=0$) и плоскости $Oyz$ (уравнение $x=0$). Для любой точки на оси $Oz$ ее координаты $x$ и $y$ должны быть равны нулю. Координаты точек на этой оси имеют вид $(0, 0, z)$.
Ответ: $\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$

23 Исследуйте взаимное расположение двух окружностей в зависимости от их радиусов и расстояния между их центрами. Сформулируйте полученные выводы.

Рассмотрим две окружности: первую с центром в точке $O_1$ и радиусом $R_1$, и вторую с центром в точке $O_2$ и радиусом $R_2$. Пусть расстояние между их центрами равно $d = |O_1O_2|$. Взаимное расположение этих окружностей и количество их общих точек полностью определяется соотношением между величинами $d$, $R_1$ и $R_2$.

Проанализируем все возможные случаи взаимного расположения.

1. Окружности лежат одна вне другой и не имеют общих точек

Это происходит, когда расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов. В этом случае самая близкая точка одной окружности находится на некотором положительном расстоянии от самой близкой точки другой окружности.
Математическое условие: $d > R_1 + R_2$.

Ответ: 0 общих точек.

2. Внешнее касание окружностей

Окружности касаются друг друга с внешней стороны в одной-единственной точке. Эта точка касания лежит на отрезке, соединяющем центры окружностей $O_1O_2$.
Математическое условие: $d = R_1 + R_2$.

Ответ: 1 общая точка.

3. Пересечение окружностей

Окружности пересекаются в двух различных точках. Это возможно, когда расстояние между центрами меньше суммы радиусов, но больше модуля их разности. Это условие известно как неравенство треугольника для треугольника со сторонами $d, R_1, R_2$, вершинами которого являются центры $O_1, O_2$ и одна из точек пересечения.
Математическое условие: $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$.

Ответ: 2 общие точки.

4. Внутреннее касание окружностей

Окружности касаются в одной точке, при этом одна окружность находится внутри другой. Точка касания лежит на прямой, проходящей через центры $O_1$ и $O_2$. Этот случай возможен, только если радиусы окружностей не равны.
Математическое условие: $d = |R_1 - R_2|$ и $R_1 \ne R_2$.

Ответ: 1 общая точка.

5. Одна окружность лежит внутри другой и не имеет с ней общих точек

Одна окружность полностью расположена внутри другой и не касается ее. Это происходит, когда расстояние между центрами меньше модуля разности радиусов.
Математическое условие: $d < |R_1 - R_2|$.
Частным случаем являются концентрические окружности, когда их центры совпадают ($d=0$), а радиусы различны ($R_1 \ne R_2$).

Ответ: 0 общих точек.

6. Совпадение окружностей

Если центры окружностей совпадают и их радиусы равны, то окружности полностью совпадают, представляя собой одну и ту же линию.
Математическое условие: $d = 0$ и $R_1 = R_2$.

Ответ: Бесконечно много общих точек.

Выводы

Таким образом, количество общих точек двух окружностей с радиусами $R_1$, $R_2$ и расстоянием между центрами $d$ определяется следующими условиями:

• Две общие точки, если расстояние между центрами строго больше модуля разности радиусов и строго меньше их суммы: $ |R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2 $.
• Одна общая точка (касание), если расстояние между центрами равно сумме радиусов (внешнее касание) или модулю разности радиусов (внутреннее касание): $ d = R_1 + R_2 $ или $ d = |R_1 - R_2| > 0 $.
• Нет общих точек, если расстояние между центрами больше суммы радиусов (окружности порознь) или меньше модуля разности радиусов (одна окружность внутри другой): $ d > R_1 + R_2 $ или $ d < |R_1 - R_2| $.
• Бесконечно много общих точек (совпадение), если расстояние между центрами равно нулю и радиусы равны: $ d = 0 $ и $ R_1 = R_2 $.

24 Приведите примеры использования уравнений окружности и прямой при решении геометрических задач.

Использование уравнений окружности и прямой, то есть координатного метода, является мощным инструментом для решения широкого спектра геометрических задач. Этот подход позволяет перевести геометрические условия на язык алгебры, что часто упрощает решение и делает его более алгоритмичным.

Основные уравнения, которые используются в координатном методе для решения задач с окружностями и прямыми:

• Уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
• Общее уравнение прямой: $Ax + By + C = 0$.
• Уравнение прямой с угловым коэффициентом: $y = kx + b$.

Рассмотрим несколько примеров, демонстрирующих применение этого метода.

Пример 1: Нахождение точек пересечения прямой и окружности

Задача: Найти координаты точек пересечения окружности, заданной уравнением $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 25$, и прямой $x - y + 2 = 0$.

Решение: Чтобы найти точки пересечения, необходимо решить систему, состоящую из уравнений окружности и прямой: $$ \begin{cases} (x-1)^2 + (y-2)^2 = 25 \\ x - y + 2 = 0 \end{cases} $$ Из второго (линейного) уравнения выразим переменную $y$ через $x$: $$ y = x + 2 $$ Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение (уравнение окружности): $$ (x-1)^2 + ((x+2)-2)^2 = 25 $$ $$ (x-1)^2 + x^2 = 25 $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$: $$ (x^2 - 2x + 1) + x^2 = 25 $$ $$ 2x^2 - 2x - 24 = 0 $$ Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения: $$ x^2 - x - 12 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -12$. Подбором находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя уравнение прямой $y = x + 2$:
При $x_1 = 4$, получаем $y_1 = 4 + 2 = 6$.
При $x_2 = -3$, получаем $y_2 = -3 + 2 = -1$.
Таким образом, мы получили две точки пересечения.

Ответ: Координаты точек пересечения: $(4, 6)$ и $(-3, -1)$.

Пример 2: Составление уравнения касательной к окружности

Задача: Написать уравнение касательной к окружности $x^2 + y^2 = 13$ в точке $A(-2, 3)$, которая лежит на этой окружности.

Решение: Уравнение окружности $x^2 + y^2 = 13$ говорит нам, что ее центр находится в начале координат, точке $O(0, 0)$, а квадрат радиуса равен 13. Известно, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. В нашем случае касательная в точке $A$ перпендикулярна радиусу $OA$.
Сначала найдем угловой коэффициент $k_{OA}$ радиуса $OA$, используя формулу $k = \frac{\Delta y}{\Delta x}$: $$ k_{OA} = \frac{y_A - y_O}{x_A - x_O} = \frac{3 - 0}{-2 - 0} = -\frac{3}{2} $$ Угловой коэффициент касательной, обозначим его $k_{кас}$, связан с угловым коэффициентом радиуса условием перпендикулярности прямых: $k_{кас} \cdot k_{OA} = -1$. Отсюда находим $k_{кас}$: $$ k_{кас} = -\frac{1}{k_{OA}} = -\frac{1}{-3/2} = \frac{2}{3} $$ Теперь у нас есть все необходимое для составления уравнения касательной: точка $A(-2, 3)$, через которую она проходит, и ее угловой коэффициент $k_{кас} = 2/3$. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом: $y - y_0 = k(x - x_0)$. $$ y - 3 = \frac{2}{3}(x - (-2)) $$ $$ y - 3 = \frac{2}{3}(x + 2) $$ Приведем уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$. Для этого умножим обе части на 3: $$ 3(y - 3) = 2(x + 2) $$ $$ 3y - 9 = 2x + 4 $$ $$ 2x - 3y + 13 = 0 $$ Это и есть искомое уравнение касательной.

Ответ: $2x - 3y + 13 = 0$.

Пример 3: Нахождение центра и радиуса окружности, описанной около треугольника

Задача: Вершины треугольника находятся в точках $A(2, 3)$, $B(6, 1)$ и $C(2, -1)$. Найти уравнение окружности, описанной около этого треугольника.

Решение: Центр описанной окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Найдем уравнения двух таких перпендикуляров и их точку пересечения.
1. Серединный перпендикуляр к стороне AC. Найдем координаты середины отрезка $AC$: $M_{AC} = (\frac{2+2}{2}, \frac{3+(-1)}{2}) = (2, 1)$. Так как абсциссы точек $A$ и $C$ одинаковы ($x=2$), сторона $AC$ является вертикальным отрезком. Серединный перпендикуляр к нему будет горизонтальной прямой, проходящей через точку $M_{AC}(2, 1)$. Уравнение этой прямой: $y=1$.
2. Серединный перпендикуляр к стороне BC. Найдем координаты середины отрезка $BC$: $M_{BC} = (\frac{6+2}{2}, \frac{1+(-1)}{2}) = (4, 0)$. Найдем угловой коэффициент прямой $BC$: $k_{BC} = \frac{1 - (-1)}{6 - 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Серединный перпендикуляр к $BC$ будет иметь угловой коэффициент $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{BC}} = -2$. Составим уравнение серединного перпендикуляра как прямой, проходящей через точку $M_{BC}(4, 0)$ с коэффициентом $k_{\perp} = -2$: $$ y - 0 = -2(x - 4) \implies y = -2x + 8 $$ 3. Найдем центр окружности. Центр окружности $O(x_0, y_0)$ — это точка пересечения найденных перпендикуляров. Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} y = 1 \\ y = -2x + 8 \end{cases} $$ Подставляя $y=1$ во второе уравнение, получаем: $1 = -2x + 8 \implies 2x = 7 \implies x = 3.5$. Итак, центр окружности $O$ имеет координаты $(3.5, 1)$.
4. Найдем радиус окружности. Радиус $R$ — это расстояние от центра $O$ до любой из вершин, например, до $A(2, 3)$. Найдем квадрат радиуса: $$ R^2 = (x_A - x_O)^2 + (y_A - y_O)^2 = (2 - 3.5)^2 + (3 - 1)^2 = (-1.5)^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25 $$ 5. Составим уравнение окружности. Зная центр $O(3.5, 1)$ и квадрат радиуса $R^2=6.25$, записываем уравнение: $$ (x - 3.5)^2 + (y - 1)^2 = 6.25 $$

Ответ: Уравнение описанной окружности: $(x - 3.5)^2 + (y - 1)^2 = 6.25$.