Номер 7, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 11. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 7, страница 268.

7 Что такое координаты вектора? Чему равны координаты координатных векторов? Как связаны между собой координаты равных векторов?

Что такое координаты вектора?

Координаты вектора — это числа, которые описывают его положение и направление относительно осей в системе координат. Существует два основных способа их определения:

1. Как разность координат конца и начала. Если вектор $\vec{AB}$ задан начальной точкой $A(x_1, y_1)$ и конечной точкой $B(x_2, y_2)$, то его координаты вычисляются по формуле: $\vec{AB} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1\}$. Эти числа показывают смещение по оси $Ox$ и $Oy$ соответственно.
2. Как коэффициенты разложения по базисным векторам. Любой вектор $\vec{a}$ на плоскости можно единственным образом представить в виде суммы координатных векторов $\vec{i}$ и $\vec{j}$, умноженных на некоторые числа $x$ и $y$: $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$. Эти числа $x$ и $y$ и называются координатами вектора $\vec{a}$ в данном базисе и записываются как $\vec{a} = \{x; y\}$.

Ответ: Координаты вектора — это упорядоченный набор чисел (коэффициентов), показывающих, как вектор раскладывается по базисным векторам координатных осей. Они равны разности соответствующих координат его конечной и начальной точек.

Чему равны координаты координатных векторов?

Координатные векторы (также называемые ортами) — это единичные векторы (их длина равна 1), которые сонаправлены с положительными направлениями осей координат. В двумерной декартовой системе координат это векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$.

• Вектор $\vec{i}$ сонаправлен с осью абсцисс (осью $Ox$). Его разложение по базису $(\vec{i}, \vec{j})$ имеет вид $\vec{i} = 1 \cdot \vec{i} + 0 \cdot \vec{j}$. Следовательно, его координаты равны $\{1; 0\}$.
• Вектор $\vec{j}$ сонаправлен с осью ординат (осью $Oy$). Его разложение по базису имеет вид $\vec{j} = 0 \cdot \vec{i} + 1 \cdot \vec{j}$. Следовательно, его координаты равны $\{0; 1\}$.

Ответ: Координаты координатного вектора $\vec{i}$ равны $\{1; 0\}$, а координаты вектора $\vec{j}$ равны $\{0; 1\}$.

Как связаны между собой координаты равных векторов?

Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление. В координатной форме это свойство выражается очень просто.

Пусть есть два вектора: $\vec{a} = \{a_1; a_2\}$ и $\vec{b} = \{b_1; b_2\}$.

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты равны. То есть: $\vec{a} = \vec{b} \iff a_1 = b_1 \text{ и } a_2 = b_2$.

Это означает, что для равенства векторов необходимо и достаточно, чтобы их проекции на каждую из координатных осей были равны.

Ответ: Координаты равных векторов соответственно равны друг другу.