Номер 1075, страница 267 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

99. Уравнение прямой. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1075, страница 267.

1075* Дан ромб ABCD, диагонали которого равны 2а и 2b. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых

АМ² + DМ² = ВМ² + СМ².

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть центр ромба $ABCD$, который является точкой пересечения его диагоналей, совпадает с началом координат $O(0, 0)$. Расположим диагонали ромба на осях координат. Пусть диагональ $AC$ длиной $2a$ лежит на оси абсцисс ($Ox$), а диагональ $BD$ длиной $2b$ — на оси ординат ($Oy$). В этой системе координат вершины ромба будут иметь следующие координаты: $A(-a, 0)$, $C(a, 0)$, $B(0, b)$ и $D(0, -b)$.

Пусть $M(x, y)$ — произвольная точка, удовлетворяющая условию задачи. Найдем квадраты расстояний от точки $M$ до каждой из вершин ромба, используя формулу для квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$.

• $AM^2 = (x - (-a))^2 + (y - 0)^2 = (x + a)^2 + y^2 = x^2 + 2ax + a^2 + y^2$
• $DM^2 = (x - 0)^2 + (y - (-b))^2 = x^2 + (y + b)^2 = x^2 + y^2 + 2by + b^2$
• $BM^2 = (x - 0)^2 + (y - b)^2 = x^2 + (y - b)^2 = x^2 + y^2 - 2by + b^2$
• $CM^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = (x - a)^2 + y^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2$

Теперь подставим эти выражения в исходное равенство $AM^2 + DM^2 = BM^2 + CM^2$.

Левая часть равенства:
$AM^2 + DM^2 = (x^2 + 2ax + a^2 + y^2) + (x^2 + y^2 + 2by + b^2) = 2x^2 + 2y^2 + 2ax + 2by + a^2 + b^2$.

Правая часть равенства:
$BM^2 + CM^2 = (x^2 + y^2 - 2by + b^2) + (x^2 - 2ax + a^2 + y^2) = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$.

Приравнивая левую и правую части, получаем:

$2x^2 + 2y^2 + 2ax + 2by + a^2 + b^2 = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$

После сокращения одинаковых слагаемых ($2x^2, 2y^2, a^2, b^2$) в обеих частях уравнения, получим:

$2ax + 2by = -2ax - 2by$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$4ax + 4by = 0$

Разделив на 4 (поскольку для ромба $a > 0$ и $b > 0$), приходим к уравнению:

$ax + by = 0$

Это линейное уравнение, которое задает прямую линию. Так как свободный член равен нулю, эта прямая проходит через начало координат $O(0, 0)$, то есть через центр ромба.

Для того чтобы понять геометрическое расположение этой прямой, найдем вектор, соответствующий стороне $AB$ ромба. Координаты вектора $\vec{AB}$ равны разности координат его конца (точки $B$) и начала (точки $A$):

$\vec{AB} = (0 - (-a), b - 0) = (a, b)$

Уравнение $ax + by = 0$ можно интерпретировать как скалярное произведение двух векторов: вектора $\vec{n}=(a,b)$ и вектора положения точки $M$ относительно начала координат, $\vec{OM} = (x, y)$. Их скалярное произведение равно $a \cdot x + b \cdot y$. Таким образом, наше уравнение эквивалентно $\vec{n} \cdot \vec{OM} = 0$. Так как $\vec{n} = \vec{AB}$, мы имеем:

$\vec{AB} \cdot \vec{OM} = 0$

Равенство скалярного произведения нулю означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{OM}$ ортогональны (перпендикулярны). Это значит, что вектор $\vec{OM}$ лежит на прямой, перпендикулярной вектору $\vec{AB}$. Следовательно, множество всех точек $M$ образует прямую, которая проходит через центр ромба $O$ и перпендикулярна его стороне $AB$.

Ответ: Искомое множество точек $M$ — это прямая, проходящая через центр ромба (точку пересечения его диагоналей) и перпендикулярная стороне $AB$ (а также параллельной ей стороне $DC$).