Номер 1, страница 267 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Вопросы для повторения к главе 11. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1, страница 267.
№1 (с. 267)
Условие. №1 (с. 267)
скриншот условия

1 Сформулируйте и докажите лемму о коллинеарных векторах.
Решение 2. №1 (с. 267)

Решение 4. №1 (с. 267)

Решение 11. №1 (с. 267)
Формулировка
Вектор $\vec{b}$ коллинеарен ненулевому вектору $\vec{a}$ тогда и только тогда, когда существует единственное число $k$, такое что $\vec{b} = k\vec{a}$.
Доказательство
Доказательство утверждения "тогда и только тогда" состоит из доказательства двух утверждений: необходимости и достаточности.
1. Необходимость (прямое утверждение)
Докажем, что если вектор $\vec{b}$ коллинеарен ненулевому вектору $\vec{a}$ ($\vec{a} \neq \vec{0}$), то существует единственное число $k$, для которого $\vec{b} = k\vec{a}$.
Существование числа k:
Рассмотрим два возможных случая:
а) Вектор $\vec{b}$ — нулевой, то есть $\vec{b} = \vec{0}$. В этом случае равенство $\vec{b} = k\vec{a}$ будет верным при $k=0$, так как $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$. Число $k=0$ существует.
б) Вектор $\vec{b}$ — ненулевой, то есть $\vec{b} \neq \vec{0}$. Так как по условию векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и оба ненулевые, они могут быть либо сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$), либо противоположно направлены ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$).
— Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены, то их единичные векторы (векторы единичной длины, сонаправленные с исходными) равны: $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$. Выражая из этого равенства $\vec{b}$, получаем $\vec{b} = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\vec{a}$. Обозначим $k = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$. Так как длины векторов — положительные величины, то $k > 0$. Таким образом, $\vec{b} = k\vec{a}$.
— Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены, то их единичные векторы противоположны: $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = -\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$. Выражая отсюда $\vec{b}$, получаем $\vec{b} = -\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\vec{a}$. Обозначим $k = -\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$. В этом случае $k < 0$. Таким образом, $\vec{b} = k\vec{a}$.
Итак, мы показали, что во всех случаях такое число $k$ существует.
Единственность числа k:
Теперь докажем, что это число $k$ единственно. Предположим обратное: существуют два различных числа $k_1$ и $k_2$ ($k_1 \neq k_2$) такие, что $\vec{b} = k_1\vec{a}$ и $\vec{b} = k_2\vec{a}$. Тогда $k_1\vec{a} = k_2\vec{a}$, откуда следует, что $k_1\vec{a} - k_2\vec{a} = \vec{0}$, то есть $(k_1 - k_2)\vec{a} = \vec{0}$. По условию вектор $\vec{a}$ ненулевой ($\vec{a} \neq \vec{0}$). Произведение ненулевого вектора на число равно нулевому вектору только тогда, когда это число равно нулю. Следовательно, $k_1 - k_2 = 0$, что означает $k_1 = k_2$. Это противоречит нашему предположению, что $k_1 \neq k_2$. Значит, число $k$ единственно.
2. Достаточность (обратное утверждение)
Докажем, что если для ненулевого вектора $\vec{a}$ и вектора $\vec{b}$ выполняется равенство $\vec{b} = k\vec{a}$ для некоторого числа $k$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.
Рассмотрим три возможных случая для значения $k$:
а) Если $k = 0$, то $\vec{b} = 0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$. Нулевой вектор по определению коллинеарен любому вектору, значит, $\vec{b}$ коллинеарен $\vec{a}$.
б) Если $k > 0$, то из определения операции умножения вектора на положительное число следует, что вектор $\vec{b}$ сонаправлен вектору $\vec{a}$ ($\vec{b} \uparrow\uparrow \vec{a}$). Сонаправленные векторы по определению коллинеарны.
в) Если $k < 0$, то из определения операции умножения вектора на отрицательное число следует, что вектор $\vec{b}$ противоположно направлен вектору $\vec{a}$ ($\vec{b} \uparrow\downarrow \vec{a}$). Противоположно направленные векторы по определению коллинеарны.
Таким образом, во всех случаях векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются коллинеарными. Лемма полностью доказана.
Ответ: Вектор $\vec{b}$ коллинеарен ненулевому вектору $\vec{a}$ тогда и только тогда, когда существует единственное число $k$, такое что $\vec{b} = k\vec{a}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1 расположенного на странице 267 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1 (с. 267), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.