Номер 5, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 11. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 5, страница 268.

5 Что такое координатные векторы?

Координатные векторы (также известные как орты или базисные векторы) — это фундаментальное понятие в векторной алгебре и аналитической геометрии. Это набор векторов, которые определяют направления осей в прямоугольной системе координат.

Основные свойства координатных векторов:

• Их длина (модуль) всегда равна единице. Поэтому их также называют единичными векторами.

• Каждый координатный вектор сонаправлен с положительным направлением своей координатной оси и откладывается от начала координат.

• Они взаимно перпендикулярны (ортогональны) друг другу.

Рассмотрим два основных случая.

1. На плоскости (в двумерной системе координат OXY)

Существует два координатных вектора:

• Вектор $\vec{i}$ — направлен вдоль оси абсцисс (оси OX). Его координаты: $\vec{i} = \{1; 0\}$.

• Вектор $\vec{j}$ — направлен вдоль оси ординат (оси OY). Его координаты: $\vec{j} = \{0; 1\}$.

Для них выполняются условия: $|\vec{i}| = 1$, $|\vec{j}| = 1$ и $\vec{i} \perp \vec{j}$.

Главное предназначение этих векторов — возможность представить любой другой вектор на плоскости в виде их линейной комбинации. Это называется разложением вектора по базису. Для любого вектора $\vec{a}$ с координатами $\{x_a; y_a\}$ справедливо равенство:

$\vec{a} = x_a \cdot \vec{i} + y_a \cdot \vec{j}$

Например, вектор $\vec{b} = \{3; -5\}$ можно разложить по координатным векторам так: $\vec{b} = 3\vec{i} - 5\vec{j}$.

2. В пространстве (в трехмерной системе координат OXYZ)

В пространстве к двум имеющимся добавляется третий координатный вектор:

• Вектор $\vec{i}$ — направлен вдоль оси OX. Координаты: $\vec{i} = \{1; 0; 0\}$.

• Вектор $\vec{j}$ — направлен вдоль оси OY. Координаты: $\vec{j} = \{0; 1; 0\}$.

• Вектор $\vec{k}$ — направлен вдоль оси аппликат (оси OZ). Координаты: $\vec{k} = \{0; 0; 1\}$.

Для них выполняются условия: $|\vec{i}| = 1$, $|\vec{j}| = 1$, $|\vec{k}| = 1$ и они взаимно перпендикулярны: $\vec{i} \perp \vec{j}$, $\vec{j} \perp \vec{k}$, $\vec{i} \perp \vec{k}$.

Любой вектор $\vec{p}$ в пространстве с координатами $\{x_p; y_p; z_p\}$ можно разложить по базису $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$:

$\vec{p} = x_p \cdot \vec{i} + y_p \cdot \vec{j} + z_p \cdot \vec{k}$

Например, вектор $\vec{c} = \{2; 8; -1\}$ раскладывается следующим образом: $\vec{c} = 2\vec{i} + 8\vec{j} - \vec{k}$.

Таким образом, координатные векторы создают "систему отсчета" для всех остальных векторов, позволяя работать с векторами через их числовые координаты.

Ответ: Координатные векторы — это единичные, взаимно перпендикулярные векторы ($\vec{i}, \vec{j}$ на плоскости; $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ в пространстве), которые сонаправлены с положительными направлениями соответствующих координатных осей. Они образуют базис, по которому любой вектор можно разложить, то есть представить в виде суммы этих векторов, умноженных на его координаты.