Номер 2, страница 267 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 11. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 2, страница 267.

2 Что значит разложить вектор по двум данным векторам?

Разложить вектор $\vec{c}$ по двум данным векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — это значит представить вектор $\vec{c}$ в виде их линейной комбинации.

Определение и формула

Математически это означает найти такие два действительных числа (скаляра) $x$ и $y$, чтобы выполнялось векторное равенство: $$ \vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b} $$ Выражение $x\vec{a} + y\vec{b}$ называется линейной комбинацией векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, а числа $x$ и $y$ — коэффициентами разложения или координатами вектора $\vec{c}$ в базисе $\{\vec{a}, \vec{b}\}$.

Условие возможности и единственности разложения

Для того чтобы любой вектор $\vec{c}$, лежащий в одной плоскости с векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, можно было разложить по этим векторам, необходимо и достаточно, чтобы векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ были неколлинеарными. Это означает, что они не должны лежать на одной прямой или на параллельных прямых.

Если это условие выполнено, то пара векторов $(\vec{a}, \vec{b})$ образует базис на плоскости. Теорема о разложении по базису гласит, что любой вектор плоскости можно разложить по базисным векторам, причем коэффициенты разложения $(x, y)$ определяются однозначно.

Если же векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то разложить по ним можно только те векторы, которые им же коллинеарны, и такое разложение будет не единственным.

Геометрическая интерпретация

Геометрически разложение $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ соответствует построению по правилу параллелограмма. Если отложить все три вектора из одной точки $O$, то вектор $\vec{c}$ будет диагональю параллелограмма, сторонами которого являются векторы $x\vec{a}$ и $y\vec{b}$. Вектор $x\vec{a}$ лежит на прямой, содержащей вектор $\vec{a}$, а вектор $y\vec{b}$ — на прямой, содержащей вектор $\vec{b}$.

Ответ: Разложить вектор $\vec{c}$ по двум данным неколлинеарным векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — это найти единственную пару числовых коэффициентов $(x, y)$ таких, что исходный вектор $\vec{c}$ представляется в виде их линейной комбинации: $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$.