Номер 1070, страница 267 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

99. Уравнение прямой. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1070, страница 267.

1070 Точка В — середина отрезка АС, длина которого равна 2. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых:
а) АМ² + ВМ² + СМ² = 50; б) АМ² + 2ВМ² + 3СМ² = 4.

Для решения задачи введем систему координат. Пусть точка $B$ — начало координат $(0, 0)$. Поскольку точка $B$ является серединой отрезка $AC$ и длина $AC = 2$, то длина отрезков $AB$ и $BC$ равна 1. Разместим отрезок $AC$ на оси абсцисс. Тогда координаты точек будут следующими:

• $A(-1, 0)$
• $B(0, 0)$
• $C(1, 0)$

Пусть точка $M$ имеет произвольные координаты $(x, y)$.

Выразим квадраты расстояний от точки $M$ до точек $A$, $B$ и $C$ через их координаты, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

• $AM^2 = (x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = (x+1)^2 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$
• $BM^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$
• $CM^2 = (x - 1)^2 + (y - 0)^2 = (x-1)^2 + y^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2$

а) Найдем множество точек $M$, для которых выполняется равенство $AM^2 + BM^2 + CM^2 = 50$.

Подставим полученные выражения в данное равенство:

$(x^2 + 2x + 1 + y^2) + (x^2 + y^2) + (x^2 - 2x + 1 + y^2) = 50$

Сгруппируем и упростим слагаемые:

$(x^2 + x^2 + x^2) + (2x - 2x) + (y^2 + y^2 + y^2) + (1 + 1) = 50$

$3x^2 + 3y^2 + 2 = 50$

$3x^2 + 3y^2 = 48$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 + y^2 = 16$

Это уравнение окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$. Поскольку точка $B$ имеет координаты $(0, 0)$, искомое множество точек $M$ — это окружность с центром в точке $B$ и радиусом 4.

Ответ: окружность с центром в точке B и радиусом 4.

б) Найдем множество точек $M$, для которых выполняется равенство $AM^2 + 2BM^2 + 3CM^2 = 4$.

Подставим выражения для квадратов расстояний в это равенство:

$(x^2 + 2x + 1 + y^2) + 2(x^2 + y^2) + 3(x^2 - 2x + 1 + y^2) = 4$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2x^2 + 2y^2 + 3x^2 - 6x + 3 + 3y^2 = 4$

$(x^2 + 2x^2 + 3x^2) + (2x - 6x) + (y^2 + 2y^2 + 3y^2) + (1 + 3) = 4$

$6x^2 - 4x + 6y^2 + 4 = 4$

$6x^2 - 4x + 6y^2 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$3x^2 - 2x + 3y^2 = 0$

Для приведения уравнения к каноническому виду окружности $(x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2$ выделим полный квадрат для переменной $x$.

$3(x^2 - \frac{2}{3}x) + 3y^2 = 0$

$3(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 - (\frac{1}{3})^2) + 3y^2 = 0$

$3((x - \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9}) + 3y^2 = 0$

$3(x - \frac{1}{3})^2 - 3 \cdot \frac{1}{9} + 3y^2 = 0$

$3(x - \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} + 3y^2 = 0$

$3(x - \frac{1}{3})^2 + 3y^2 = \frac{1}{3}$

Разделим обе части на 3:

$(x - \frac{1}{3})^2 + y^2 = \frac{1}{9}$

Это уравнение окружности с центром в точке $O(\frac{1}{3}, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$. Точка $O(\frac{1}{3}, 0)$ лежит на отрезке $BC$, поскольку координаты точек $B$ и $C$ равны $(0,0)$ и $(1,0)$ соответственно. Расстояние от $B(0,0)$ до $O(\frac{1}{3},0)$ равно $\frac{1}{3}$, а от $O(\frac{1}{3},0)$ до $C(1,0)$ равно $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$. Таким образом, точка $O$ делит отрезок $BC$ в отношении $1:2$, считая от точки $B$.

Ответ: окружность с центром в точке O, которая делит отрезок BC в отношении 1:2, считая от точки B, и радиусом $\frac{1}{3}$.