Номер 1066, страница 265 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

99. Уравнение прямой. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1066, страница 265.

1066 Найдите количество точек пересечения прямой и окружности, заданных уравнениями y = x + 5 и x² + (y – 2)² = 9.

Чтобы найти количество точек пересечения прямой и окружности, необходимо определить, сколько общих решений имеет система уравнений, задающих эти фигуры.

Система уравнений:
$ \begin{cases} y = x + 5 \\ x^2 + (y - 2)^2 = 9 \end{cases} $

Для решения системы подставим выражение для $y$ из первого уравнения (уравнения прямой) во второе уравнение (уравнение окружности):

$x^2 + ((x + 5) - 2)^2 = 9$

Упростим выражение в скобках:

$x^2 + (x + 3)^2 = 9$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 + (x^2 + 6x + 9) = 9$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 6x + 9 = 9$

Перенесем 9 в левую часть уравнения:

$2x^2 + 6x + 9 - 9 = 0$

$2x^2 + 6x = 0$

Мы получили неполное квадратное уравнение относительно переменной $x$. Количество действительных корней этого уравнения будет соответствовать количеству точек пересечения. Решим его, вынеся общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x + 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, у нас есть два возможных случая:

1) $2x = 0 \implies x_1 = 0$
2) $x + 3 = 0 \implies x_2 = -3$

Поскольку мы получили два различных действительных корня для $x$, это означает, что существуют две точки пересечения. Для каждого из этих значений $x$ можно найти соответствующее значение $y$, подставив их в уравнение прямой $y = x + 5$.

Ответ: 2