Номер 1067, страница 265 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой. 99. Уравнение прямой - номер 1067, страница 265.

Условие.

1067 Установите взаимное расположение окружностей, заданных уравнениями:
а) x² + y² = 9 и x² + y² = 4;
б) (x − 1)² + y² = 1 и x² + y² = 4.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Для определения взаимного расположения двух окружностей необходимо найти их центры и радиусы, а затем сравнить расстояние между центрами с суммой и разностью их радиусов. Уравнение окружности в общем виде: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

а) $x^2 + y^2 = 9$ и $x^2 + y^2 = 4$
Для первой окружности $x^2 + y^2 = 9$:
Центр $O_1$ находится в точке $(0, 0)$.
Радиус $R_1 = \sqrt{9} = 3$.

Для второй окружности $x^2 + y^2 = 4$:
Центр $O_2$ находится в точке $(0, 0)$.
Радиус $R_2 = \sqrt{4} = 2$.

Расстояние $d$ между центрами $O_1$ и $O_2$ равно $d = \sqrt{(0-0)^2 + (0-0)^2} = 0$.
Поскольку центры окружностей совпадают ($d=0$), а радиусы различны ($R_1 \ne R_2$), окружности являются концентрическими. Окружность с меньшим радиусом ($R_2=2$) целиком лежит внутри окружности с большим радиусом ($R_1=3$). Они не имеют общих точек. Это соответствует случаю, когда расстояние между центрами меньше модуля разности радиусов: $d < |R_1 - R_2|$, так как $0 < |3-2|$, то есть $0 < 1$.
Ответ: Окружности концентрические, одна расположена внутри другой, не пересекаются.

б) $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ и $x^2 + y^2 = 4$
Для первой окружности $(x - 1)^2 + y^2 = 1$:
Центр $O_1$ находится в точке $(1, 0)$.
Радиус $R_1 = \sqrt{1} = 1$.

Для второй окружности $x^2 + y^2 = 4$:
Центр $O_2$ находится в точке $(0, 0)$.
Радиус $R_2 = \sqrt{4} = 2$.

Найдем расстояние $d$ между центрами $O_1(1, 0)$ и $O_2(0, 0)$:
$d = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{1^2} = 1$.
Теперь сравним расстояние $d$ с суммой и разностью радиусов:
Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 1 + 2 = 3$.
Модуль разности радиусов: $|R_1 - R_2| = |1 - 2| = 1$.
Так как расстояние между центрами равно модулю разности радиусов ($d = |R_1 - R_2|$, поскольку $1 = 1$), окружности касаются внутренним образом в одной точке.
Ответ: Окружности касаются внутренним образом.