Номер 1073, страница 267 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

99. Уравнение прямой. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1073, страница 267.

1073 Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых ВМ² − АМ² = 2AB².

Для решения этой задачи воспользуемся методом координат.

1. Введение системы координат.
Пусть точки A и B лежат на оси абсцисс $Ox$. Для упрощения вычислений поместим точку A в начало координат. Тогда координаты точек будут следующими:

• Точка A имеет координаты $A(0, 0)$.
• Пусть расстояние между A и B равно $d$. Тогда точка B имеет координаты $B(d, 0)$. Так как точки A и B различны, $d > 0$.
• Пусть точка M, принадлежащая искомому множеству, имеет произвольные координаты $M(x, y)$.

2. Выражение расстояний через координаты.
Теперь выразим квадраты расстояний, фигурирующих в условии задачи, через координаты точек.

• Квадрат расстояния AM: $AM^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$.
• Квадрат расстояния BM: $BM^2 = (x - d)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 2dx + d^2 + y^2$.
• Квадрат расстояния AB: $AB^2 = (d - 0)^2 + (0 - 0)^2 = d^2$.

3. Подстановка в исходное уравнение и его упрощение.
Подставим полученные выражения в данное по условию равенство $BM^2 - AM^2 = 2AB^2$:

$(x^2 - 2dx + d^2 + y^2) - (x^2 + y^2) = 2(d^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 2dx + d^2 + y^2 - x^2 - y^2 = 2d^2$

$-2dx + d^2 = 2d^2$

$-2dx = 2d^2 - d^2$

$-2dx = d^2$

Поскольку точки A и B различны, то расстояние $d \ne 0$. Значит, мы можем разделить обе части уравнения на $-2d$:

$x = \frac{d^2}{-2d}$

$x = -\frac{d}{2}$

4. Геометрическая интерпретация результата.
Уравнение $x = -\frac{d}{2}$ задает прямую линию. Эта прямая параллельна оси $Oy$ и, следовательно, перпендикулярна оси $Ox$, на которой лежат точки A и B.

Эта прямая проходит через точку $C$ с координатами $(-\frac{d}{2}, 0)$. Давайте определим положение этой точки относительно A и B:

• $A(0, 0)$
• $B(d, 0)$
• $C(-\frac{d}{2}, 0)$

Точка C лежит на той же прямой, что и A и B. Расстояние от A до C равно $\frac{d}{2}$. Расстояние от A до B равно $d$. Точка C находится на продолжении отрезка BA за точку A. Серединой отрезка CB является точка с координатами $(\frac{d + (-\frac{d}{2})}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{d/2}{2}, 0) = (\frac{d}{4}, 0)$, что не является точкой A. Давайте проверим иначе. Серединой отрезка CB является точка с координатами $\frac{x_C+x_B}{2} = \frac{-d/2 + d}{2} = \frac{d/2}{2} = \frac{d}{4}$. Это не точка А. Рассмотрим точку, симметричную B относительно A. Если A — центр симметрии, то ее координаты являются средним арифметическим координат симметричных точек B и C. $x_A = \frac{x_B + x_C}{2} \Rightarrow 0 = \frac{d + x_C}{2} \Rightarrow x_C = -d$. Моя интерпретация выше была неверна.

Давайте вернемся к результату $x = -\frac{d}{2}$. Это точка, лежащая на прямой AB на расстоянии $d/2$ от A, в сторону, противоположную B. То есть, если мы рассмотрим точку $C$ на прямой AB, такую, что A является серединой отрезка CB, то ее координата будет $-d$. Если же мы рассмотрим точку $C$, которая является серединой отрезка, соединяющего A с точкой, симметричной B относительно A, то ее координата будет $(0 + (-d))/2 = -d/2$.

Рассмотрим точку $K$, симметричную точке B относительно A. Ее координаты будут $(-d, 0)$. Точка $C(-\frac{d}{2}, 0)$ является серединой отрезка AK.

Давайте опишем положение точки $C(-\frac{d}{2}, 0)$ более просто. Это точка, которая лежит на продолжении отрезка BA за точку A на расстоянии, равном половине длины отрезка AB. Таким образом, искомое множество точек M — это прямая, перпендикулярная прямой AB и проходящая через точку C, которая лежит на прямой AB на расстоянии $\frac{AB}{2}$ от точки A, причем A находится между C и B.

Ответ: Искомое множество точек M — это прямая, перпендикулярная прямой AB и проходящая через такую точку C на прямой AB, что расстояние AC равно половине расстояния AB, и точка A лежит между точками C и B.