Номер 1071, страница 267 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

99. Уравнение прямой. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1071, страница 267.

1071 Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых АМ² + ВМ² = k², где k — данное число.

Для решения этой задачи воспользуемся методом координат. Пусть точки А и В лежат на оси Ox, а начало координат O — середина отрезка AB. Обозначим расстояние AB через $2a$, где $a > 0$. Тогда точки A и B будут иметь координаты $A(-a, 0)$ и $B(a, 0)$.

Пусть точка M имеет произвольные координаты $(x, y)$.

Теперь найдем квадраты расстояний AM и BM по формуле расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, которое равно $(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$.

Квадрат расстояния от M(x, y) до A(-a, 0):
$AM^2 = (x - (-a))^2 + (y - 0)^2 = (x + a)^2 + y^2$

Квадрат расстояния от M(x, y) до B(a, 0):
$BM^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = (x - a)^2 + y^2$

Согласно условию задачи, сумма этих квадратов равна $k^2$:

$AM^2 + BM^2 = k^2$

Подставим полученные выражения в это уравнение:

$(x + a)^2 + y^2 + (x - a)^2 + y^2 = k^2$

Раскроем скобки:

$(x^2 + 2ax + a^2) + y^2 + (x^2 - 2ax + a^2) + y^2 = k^2$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 2y^2 + 2a^2 = k^2$

Перенесем $2a^2$ в правую часть и разделим уравнение на 2:

$2(x^2 + y^2) = k^2 - 2a^2$

$x^2 + y^2 = \frac{k^2 - 2a^2}{2}$

Это уравнение описывает окружность с центром в точке O(0, 0), которая является серединой отрезка AB. Обозначим квадрат радиуса этой окружности как $R^2$.

$R^2 = \frac{k^2 - 2a^2}{2}$

Поскольку $2a = AB$, то $a = \frac{AB}{2}$, и $2a^2 = 2 \left(\frac{AB}{2}\right)^2 = \frac{AB^2}{2}$. Тогда:

$R^2 = \frac{k^2 - \frac{AB^2}{2}}{2} = \frac{2k^2 - AB^2}{4}$

Теперь проанализируем возможные случаи в зависимости от значения $k$.

1. Если $k^2 > \frac{AB^2}{2}$

В этом случае $R^2 = \frac{2k^2 - AB^2}{4} > 0$. Уравнение $x^2 + y^2 = R^2$ задает окружность с центром в середине отрезка AB и радиусом $R = \sqrt{\frac{2k^2 - AB^2}{4}} = \frac{\sqrt{2k^2 - AB^2}}{2}$.

2. Если $k^2 = \frac{AB^2}{2}$

В этом случае $R^2 = 0$. Уравнение $x^2 + y^2 = 0$ имеет единственное решение $x=0, y=0$. Это означает, что искомое множество состоит из одной точки — середины отрезка AB.

3. Если $k^2 < \frac{AB^2}{2}$

В этом случае $R^2 < 0$. Уравнение $x^2 + y^2 = R^2$ не имеет решений в действительных числах, так как сумма квадратов не может быть отрицательной. Следовательно, искомое множество точек является пустым множеством.

Ответ: Искомое множество точек M зависит от соотношения между $k^2$ и $\frac{AB^2}{2}$:

• Если $k^2 > \frac{AB^2}{2}$, то множество точек M — это окружность с центром в середине отрезка AB и радиусом $R = \frac{\sqrt{2k^2 - AB^2}}{2}$.
• Если $k^2 = \frac{AB^2}{2}$, то множество точек M состоит из одной точки — середины отрезка AB.
• Если $k^2 < \frac{AB^2}{2}$, то таких точек M не существует (пустое множество).