Номер 1064, страница 265 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

99. Уравнение прямой. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1064, страница 265.

1064 Напишите уравнения прямых, содержащих стороны ромба, диагонали которого равны 10 см и 4 см, если известно, что его диагонали лежат на осях координат.

По условию задачи, диагонали ромба лежат на осях координат. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Так как они лежат на осях координат, точка их пересечения — это начало координат, точка $O(0, 0)$.

Длины диагоналей равны 10 см и 4 см. Возможны два случая расположения ромба:

Случай 1: Большая диагональ (длиной 10) лежит на оси Ox, а меньшая (длиной 4) — на оси Oy.

В этом случае полудиагонали равны $10/2 = 5$ и $4/2 = 2$. Вершины ромба будут иметь следующие координаты:$A(5, 0)$, $C(-5, 0)$ на оси Ox и $B(0, 2)$, $D(0, -2)$ на оси Oy.

Стороны ромба — это прямые, проходящие через эти вершины. Для нахождения их уравнений удобно использовать уравнение прямой в отрезках: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$, где $a$ — абсцисса точки пересечения с осью Ox, а $b$ — ордината точки пересечения с осью Oy.

- Прямая AB проходит через точки $A(5, 0)$ и $B(0, 2)$. Здесь $a=5$, $b=2$.
Уравнение: $\frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 1$.
Приведем к общему виду, умножив на 10: $2x + 5y = 10$, или $2x + 5y - 10 = 0$.

- Прямая BC проходит через точки $B(0, 2)$ и $C(-5, 0)$. Здесь $a=-5$, $b=2$.
Уравнение: $\frac{x}{-5} + \frac{y}{2} = 1$.
Умножив на 10: $-2x + 5y = 10$, или $2x - 5y + 10 = 0$.

- Прямая CD проходит через точки $C(-5, 0)$ и $D(0, -2)$. Здесь $a=-5$, $b=-2$.
Уравнение: $\frac{x}{-5} + \frac{y}{-2} = 1$.
Умножив на -10: $2x + 5y = -10$, или $2x + 5y + 10 = 0$.

- Прямая DA проходит через точки $D(0, -2)$ и $A(5, 0)$. Здесь $a=5$, $b=-2$.
Уравнение: $\frac{x}{5} + \frac{y}{-2} = 1$.
Умножив на 10: $2x - 5y = 10$, или $2x - 5y - 10 = 0$.

Ответ: Уравнения прямых, содержащих стороны ромба, для первого случая: $2x + 5y - 10 = 0$, $2x - 5y + 10 = 0$, $2x + 5y + 10 = 0$, $2x - 5y - 10 = 0$.

Случай 2: Меньшая диагональ (длиной 4) лежит на оси Ox, а большая (длиной 10) — на оси Oy.

В этом случае полудиагонали равны $4/2 = 2$ и $10/2 = 5$. Вершины ромба будут иметь координаты:$A(2, 0)$, $C(-2, 0)$ на оси Ox и $B(0, 5)$, $D(0, -5)$ на оси Oy.

Аналогично первому случаю, найдем уравнения сторон:

- Прямая AB проходит через точки $A(2, 0)$ и $B(0, 5)$. Здесь $a=2$, $b=5$.
Уравнение: $\frac{x}{2} + \frac{y}{5} = 1$.
Умножив на 10: $5x + 2y = 10$, или $5x + 2y - 10 = 0$.

- Прямая BC проходит через точки $B(0, 5)$ и $C(-2, 0)$. Здесь $a=-2$, $b=5$.
Уравнение: $\frac{x}{-2} + \frac{y}{5} = 1$.
Умножив на 10: $-5x + 2y = 10$, или $5x - 2y + 10 = 0$.

- Прямая CD проходит через точки $C(-2, 0)$ и $D(0, -5)$. Здесь $a=-2$, $b=-5$.
Уравнение: $\frac{x}{-2} + \frac{y}{-5} = 1$.
Умножив на -10: $5x + 2y = -10$, или $5x + 2y + 10 = 0$.

- Прямая DA проходит через точки $D(0, -5)$ и $A(2, 0)$. Здесь $a=2$, $b=-5$.
Уравнение: $\frac{x}{2} + \frac{y}{-5} = 1$.
Умножив на 10: $5x - 2y = 10$, или $5x - 2y - 10 = 0$.

Ответ: Уравнения прямых, содержащих стороны ромба, для второго случая: $5x + 2y - 10 = 0$, $5x - 2y + 10 = 0$, $5x + 2y + 10 = 0$, $5x - 2y - 10 = 0$.