Номер 1058, страница 264 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

99. Уравнение прямой. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1058, страница 264.

1058 Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки: а) А (1; −1) и В (−3; 2); б) С (2; 5) и D (5; 2); в) M (0; 1) и N (−4; −5).

Решение

а) Уравнение прямой AB имеет вид ах + by + с = 0. Так как точки A и B лежат на прямой AB, то их координаты удовлетворяют этому уравнению:

а ⋅ 1 + b ⋅ (−1) + с = 0, а ⋅ (−3) + b ⋅ 2 + с = 0, или а − b + с = 0, −3а + 2b + с = 0.

Из этих уравнений выразим коэффициенты a и b через с: а = 3с, b = 4с. Подставив эти значения в уравнение прямой, получим 3cx + 4су + с = 0. При любом с ≠ 0 это уравнение является уравнением прямой AB. Сократив на с, запишем искомое уравнение в виде 3x + 4у + 1 = 0.

а) Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $A(1; -1)$ и $B(-3; 2)$.

Общее уравнение прямой имеет вид $ax + by + c = 0$. Так как точки $A$ и $B$ лежат на этой прямой, их координаты должны удовлетворять этому уравнению.

Подставим координаты точки $A(1; -1)$:

$a \cdot 1 + b \cdot (-1) + c = 0$, или $a - b + c = 0$.

Подставим координаты точки $B(-3; 2)$:

$a \cdot (-3) + b \cdot 2 + c = 0$, или $-3a + 2b + c = 0$.

Получим систему из двух уравнений с тремя неизвестными:

$\begin{cases} a - b + c = 0 \\ -3a + 2b + c = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a$ через $b$ и $c$: $a = b - c$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$-3(b - c) + 2b + c = 0$

$-3b + 3c + 2b + c = 0$

$-b + 4c = 0$, откуда $b = 4c$.

Теперь найдем $a$, подставив $b = 4c$ в выражение $a = b - c$:

$a = 4c - c = 3c$.

Подставим найденные коэффициенты $a = 3c$ и $b = 4c$ в общее уравнение прямой:

$(3c)x + (4c)y + c = 0$

Если предположить $c \neq 0$, можно сократить уравнение на $c$ (если $c = 0$, то $a = 0$ и $b = 0$, что не определяет прямую).

$3x + 4y + 1 = 0$

Ответ: $3x + 4y + 1 = 0$.

б) Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $C(2; 5)$ и $D(5; 2)$.

Общее уравнение прямой имеет вид $ax + by + c = 0$.

Подставляем координаты точек $C$ и $D$ в уравнение:

Для точки $C(2; 5)$: $a \cdot 2 + b \cdot 5 + c = 0 \implies 2a + 5b + c = 0$.

Для точки $D(5; 2)$: $a \cdot 5 + b \cdot 2 + c = 0 \implies 5a + 2b + c = 0$.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 2a + 5b + c = 0 \\ 5a + 2b + c = 0 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(5a + 2b + c) - (2a + 5b + c) = 0$

$3a - 3b = 0$, откуда $a = b$.

Подставим $a = b$ в первое уравнение системы:

$2b + 5b + c = 0$

$7b + c = 0$, откуда $c = -7b$.

Подставим $a=b$ и $c=-7b$ в общее уравнение прямой:

$(b)x + (b)y + (-7b) = 0$

Предполагая, что $b \neq 0$ (иначе $a=0$ и $c=0$, что невозможно), сократим уравнение на $b$:

$x + y - 7 = 0$

Ответ: $x + y - 7 = 0$.

в) Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $M(0; 1)$ и $N(-4; -5)$.

Общее уравнение прямой имеет вид $ax + by + c = 0$.

Подставляем координаты точек $M$ и $N$ в уравнение:

Для точки $M(0; 1)$: $a \cdot 0 + b \cdot 1 + c = 0 \implies b + c = 0 \implies b = -c$.

Для точки $N(-4; -5)$: $a \cdot (-4) + b \cdot (-5) + c = 0 \implies -4a - 5b + c = 0$.

Подставим $b = -c$ во второе уравнение:

$-4a - 5(-c) + c = 0$

$-4a + 5c + c = 0$

$-4a + 6c = 0$, откуда $4a = 6c$, или $a = \frac{6}{4}c = \frac{3}{2}c$.

Подставим $a = \frac{3}{2}c$ и $b = -c$ в общее уравнение прямой:

$(\frac{3}{2}c)x + (-c)y + c = 0$

Предполагая, что $c \neq 0$ (иначе $a=0$ и $b=0$, что невозможно), сократим уравнение на $c$:

$\frac{3}{2}x - y + 1 = 0$

Чтобы избавиться от дроби в коэффициентах, умножим все уравнение на 2:

$2 \cdot (\frac{3}{2}x - y + 1) = 2 \cdot 0$

$3x - 2y + 2 = 0$

Ответ: $3x - 2y + 2 = 0$.