Номер 1055, страница 264 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

99. Уравнение прямой. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1055, страница 264.

1055 Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если: а) M (−3; 5), N (7; −3); б) M (2; −1), N (4; 3).

Для того чтобы написать уравнение окружности, необходимо найти координаты её центра $(x_0; y_0)$ и её радиус $R$. Общее уравнение окружности имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Так как отрезок $MN$ является диаметром окружности, то её центр — это середина отрезка $MN$. Координаты центра $(x_0; y_0)$ можно найти по формулам:

$x_0 = \frac{x_M + x_N}{2}$, $y_0 = \frac{y_M + y_N}{2}$

Радиус $R$ равен половине длины диаметра, или, что то же самое, расстоянию от центра окружности до любой из точек на ней (например, до точки $M$). Квадрат радиуса $R^2$ вычисляется по формуле:

$R^2 = (x_M - x_0)^2 + (y_M - y_0)^2$

а) $M(-3; 5)$, $N(7; -3)$

1. Находим координаты центра окружности $O(x_0; y_0)$:

$x_0 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_0 = \frac{5 + (-3)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, центр окружности — точка $O(2; 1)$.

2. Находим квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния от центра $O(2; 1)$ до точки $M(-3; 5)$:

$R^2 = (-3 - 2)^2 + (5 - 1)^2 = (-5)^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41$.

3. Подставляем координаты центра и квадрат радиуса в общее уравнение окружности:

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 41$.

Ответ: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 41$

б) $M(2; -1)$, $N(4; 3)$

1. Находим координаты центра окружности $O(x_0; y_0)$:

$x_0 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$y_0 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, центр окружности — точка $O(3; 1)$.

2. Находим квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния от центра $O(3; 1)$ до точки $M(2; -1)$:

$R^2 = (2 - 3)^2 + (-1 - 1)^2 = (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$.

3. Подставляем найденные значения в уравнение окружности:

$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5$.

Ответ: $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5$