Номер 1057, страница 264 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

99. Уравнение прямой. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1057, страница 264.

1057 Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А (−3; 0) и В (0; 9), если известно, что центр окружности лежит на оси ординат.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

По условию задачи, центр окружности лежит на оси ординат. Это означает, что абсцисса центра равна нулю, то есть $a = 0$. Пусть координаты центра будут $C(0; b)$.
Тогда уравнение окружности принимает вид:
$(x - 0)^2 + (y - b)^2 = R^2$
$x^2 + (y - b)^2 = R^2$

Окружность проходит через точки $A(-3; 0)$ и $B(0; 9)$. Следовательно, координаты этих точек должны удовлетворять уравнению окружности. Это означает, что расстояния от центра $C(0; b)$ до точек $A$ и $B$ равны радиусу $R$.
$CA^2 = (-3 - 0)^2 + (0 - b)^2 = 9 + b^2 = R^2$
$CB^2 = (0 - 0)^2 + (9 - b)^2 = (9 - b)^2 = R^2$

Так как оба выражения равны $R^2$, мы можем их приравнять, чтобы найти координату $b$:
$9 + b^2 = (9 - b)^2$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$9 + b^2 = 81 - 18b + b^2$
Вычтем $b^2$ из обеих частей уравнения:
$9 = 81 - 18b$
Перенесем слагаемые, чтобы найти $b$:
$18b = 81 - 9$
$18b = 72$
$b = \frac{72}{18}$
$b = 4$

Таким образом, центр окружности находится в точке $C(0; 4)$.

Теперь найдем квадрат радиуса $R^2$, подставив значение $b = 4$ в любое из полученных ранее выражений для $R^2$:
$R^2 = 9 + b^2 = 9 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

Мы нашли все параметры окружности: центр $C(0; 4)$ и квадрат радиуса $R^2 = 25$. Подставим их в уравнение окружности:
$x^2 + (y - 4)^2 = 25$

Ответ: $x^2 + (y - 4)^2 = 25$