Номер 1056, страница 264 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

99. Уравнение прямой. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1056, страница 264.

1056 Напишите уравнение окружности, проходящей через точку А (1; 3), если известно, что центр окружности лежит на оси абсцисс, а радиус равен 5. Сколько существует таких окружностей?

Общее уравнение окружности с центром в точке с координатами $(a; b)$ и радиусом $R$ записывается в виде:
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

По условию задачи, радиус окружности равен 5, то есть $R = 5$.
Центр окружности лежит на оси абсцисс (оси $Ox$), это значит, что его вторая координата (ордината) равна нулю: $b = 0$. Таким образом, центр окружности имеет координаты $C(a; 0)$.

Подставим известные значения $R=5$ и $b=0$ в общее уравнение окружности:
$(x - a)^2 + (y - 0)^2 = 5^2$
$(x - a)^2 + y^2 = 25$

Также известно, что окружность проходит через точку $A(1; 3)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению окружности. Подставим $x=1$ и $y=3$ в полученное уравнение, чтобы найти координату $a$:
$(1 - a)^2 + 3^2 = 25$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $a$:
$(1 - a)^2 + 9 = 25$
$(1 - a)^2 = 25 - 9$
$(1 - a)^2 = 16$

Из этого квадратного уравнения следует два возможных случая:
1) $1 - a = 4$
$a = 1 - 4 = -3$

2) $1 - a = -4$
$a = 1 - (-4) = 1 + 4 = 5$

Мы нашли два возможных значения для абсциссы центра, следовательно, существуют две окружности, удовлетворяющие условиям задачи.
Первая окружность имеет центр в точке $C_1(-3; 0)$ и ее уравнение:
$(x - (-3))^2 + y^2 = 25 \implies (x + 3)^2 + y^2 = 25$
Вторая окружность имеет центр в точке $C_2(5; 0)$ и ее уравнение:
$(x - 5)^2 + y^2 = 25$

Ответ: Существует две таких окружности, их уравнения: $(x + 3)^2 + y^2 = 25$ и $(x - 5)^2 + y^2 = 25$.