Номер 1060, страница 265 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

99. Уравнение прямой. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1060, страница 265.

1060 Даны координаты вершин трапеции ABCD: A (−2; −2), B (−3; 1), C (7; 7) и D (3; 1). Напишите уравнения прямых, содержащих:
а) диагонали АС и BD трапеции;
б) среднюю линию трапеции.

а) диагонали AC и BD трапеции;

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, используется каноническое уравнение прямой:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Найдем уравнение прямой, содержащей диагональ AC. Подставим в формулу координаты точек A(-2; -2) и C(7; 7):
$\frac{x - (-2)}{7 - (-2)} = \frac{y - (-2)}{7 - (-2)}$
$\frac{x + 2}{9} = \frac{y + 2}{9}$
Поскольку знаменатели равны, мы можем приравнять числители:
$x + 2 = y + 2$
$y = x$ (или $x - y = 0$)

Теперь найдем уравнение прямой, содержащей диагональ BD. Координаты точек B(-3; 1) и D(3; 1).
Заметим, что ординаты (координаты $y$) этих точек одинаковы и равны 1. Это означает, что прямая BD параллельна оси абсцисс (горизонтальная), и ее уравнение имеет вид $y = c$, где $c$ - постоянная. В данном случае, уравнение прямой BD:
$y = 1$

Ответ: Уравнение прямой AC: $y = x$. Уравнение прямой BD: $y = 1$.

б) среднюю линию трапеции.

Средняя линия трапеции соединяет середины ее боковых (непараллельных) сторон. Для начала определим, какие стороны трапеции являются основаниями (параллельными), а какие — боковыми. Для этого вычислим угловые коэффициенты $k$ для каждой стороны по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
$k_{AD} = \frac{1 - (-2)}{3 - (-2)} = \frac{3}{5}$
$k_{BC} = \frac{7 - 1}{7 - (-3)} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$k_{AB} = \frac{1 - (-2)}{-3 - (-2)} = \frac{3}{-1} = -3$
$k_{CD} = \frac{1 - 7}{3 - 7} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2}$
Поскольку угловые коэффициенты сторон AD и BC равны ($k_{AD} = k_{BC}$), эти стороны параллельны и являются основаниями трапеции. Следовательно, стороны AB и CD — боковые.

Далее найдем координаты середин боковых сторон.
Пусть точка M — середина стороны AB. Ее координаты вычисляются как среднее арифметическое координат концов отрезка:
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-2 + (-3)}{2} = -\frac{5}{2} = -2.5$
$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-2 + 1}{2} = -\frac{1}{2} = -0.5$
Таким образом, M(-2.5; -0.5).
Пусть точка N — середина стороны CD. Ее координаты:
$x_N = \frac{x_C + x_D}{2} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$y_N = \frac{y_C + y_D}{2} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Таким образом, N(5; 4).

Теперь составим уравнение прямой, проходящей через точки M и N, которая является средней линией трапеции. Воспользуемся той же формулой:
$\frac{x - x_M}{x_N - x_M} = \frac{y - y_M}{y_N - y_M}$
$\frac{x - (-2.5)}{5 - (-2.5)} = \frac{y - (-0.5)}{4 - (-0.5)}$
$\frac{x + 2.5}{7.5} = \frac{y + 0.5}{4.5}$
Для упрощения можно умножить знаменатели на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей, это эквивалентно следующей пропорции:
$4.5(x + 2.5) = 7.5(y + 0.5)$
Разделим обе части уравнения на 1.5:
$3(x + 2.5) = 5(y + 0.5)$
$3x + 7.5 = 5y + 2.5$
$5y = 3x + 5$
$y = \frac{3}{5}x + 1$
Это уравнение можно также представить в общем виде: $3x - 5y + 5 = 0$.

Ответ: $y = \frac{3}{5}x + 1$.