Номер 1065, страница 265 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

99. Уравнение прямой. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1065, страница 265.

1065 Прямая и окружность заданы уравнениями y = x – 2 и x² + (y – 2)² = 9. Установите их взаимное расположение.

Чтобы установить взаимное расположение прямой и окружности, можно либо найти количество их общих точек (аналитический способ), либо сравнить расстояние от центра окружности до прямой с её радиусом (геометрический способ).

Способ 1: Аналитический

Найдем количество точек пересечения, решив систему уравнений:

$\begin{cases} y = x - 2 \\ x^2 + (y - 2)^2 = 9 \end{cases}$

Подставим выражение для y из первого уравнения во второе:

$x^2 + ((x - 2) - 2)^2 = 9$

$x^2 + (x - 4)^2 = 9$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + x^2 - 8x + 16 = 9$

$2x^2 - 8x + 16 - 9 = 0$

$2x^2 - 8x + 7 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Количество его корней определяет количество точек пересечения. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 64 - 56 = 8$

Так как дискриминант $D = 8 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что прямая и окружность пересекаются в двух точках.

Способ 2: Геометрический

Уравнение окружности $x^2 + (y - 2)^2 = 9$ задано в каноническом виде $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ - координаты центра, а $R$ - радиус.

Из уравнения находим:

• Центр окружности: точка $C(0, 2)$.
• Радиус окружности: $R = \sqrt{9} = 3$.

Теперь найдем расстояние $d$ от центра окружности $C(0, 2)$ до прямой $y = x - 2$. Для этого приведем уравнение прямой к общему виду $Ax + By + C = 0$:

$x - y - 2 = 0$

Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Подставим координаты центра $C(0, 2)$ и коэффициенты прямой $A=1, B=-1, C=-2$:

$d = \frac{|1 \cdot 0 + (-1) \cdot 2 - 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|0 - 2 - 2|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

Теперь сравним расстояние $d$ с радиусом $R$.

$d = 2\sqrt{2}$ и $R = 3$.

Чтобы сравнить $2\sqrt{2}$ и $3$, возведем оба числа в квадрат:

$d^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$

$R^2 = 3^2 = 9$

Поскольку $8 < 9$, то $d^2 < R^2$, следовательно, $d < R$.

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая пересекает окружность в двух точках (является секущей).

Оба способа приводят к одному и тому же выводу.

Ответ: Прямая пересекает окружность в двух точках.