Номер 1072, страница 267 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

99. Уравнение прямой. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1072, страница 267.

1072 Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых AM² − BM² = k, где k — данное число.

Решение

Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка А была началом координат, а точка В имела координаты (а; 0), где а = AB. Найдём расстояния от произвольной точки M (x; у) до точек A и B: AM = x² + y², BM = (x - a)² + y²

Если точка M (x; у) принадлежит искомому множеству, то AM² − BM² = k, поэтому координаты точки M удовлетворяют уравнению x² + y² − (x − a)² − y² = k, или 2ax − a² − k = 0.

Если же точка M не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению. Итак, полученное уравнение является уравнением искомого множества точек. Но этим уравнением определяется прямая, параллельная оси Оу, если a² + k ≠ 0, и сама ось Оу, если a² + k = 0. Таким образом, искомым множеством точек является прямая, перпендикулярная к прямой AB.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Расположим ее так, чтобы точка A была началом координат (0, 0), а точка B лежала на оси Ox. Тогда координаты точки B будут $(a, 0)$, где $a$ — это расстояние между A и B, $a = AB$. Будем считать, что точки A и B не совпадают, то есть $a > 0$.

Пусть точка M с координатами $(x, y)$ принадлежит искомому множеству. Найдем квадраты расстояний от точки M до точек A и B, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками. Для отрезка AM, где $A(0, 0)$ и $M(x, y)$, получаем $AM^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$. Для отрезка BM, где $B(a, 0)$ и $M(x, y)$, получаем $BM^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = (x - a)^2 + y^2$.

По условию задачи, для точки M выполняется равенство $AM^2 - BM^2 = k$, где $k$ — данное число. Подставим полученные выражения в это равенство: $(x^2 + y^2) - ((x - a)^2 + y^2) = k$.

Раскроем скобки и упростим уравнение. Сначала раскроем квадрат разности: $(x^2 + y^2) - (x^2 - 2ax + a^2 + y^2) = k$. Затем раскроем вторые скобки: $x^2 + y^2 - x^2 + 2ax - a^2 - y^2 = k$.

После взаимного уничтожения слагаемых $x^2$ и $y^2$, уравнение принимает вид: $2ax - a^2 = k$. Мы получили линейное уравнение относительно $x$. Перенесем константы в правую часть: $2ax = a^2 + k$.

Поскольку точки A и B различны, $a \neq 0$, и мы можем разделить обе части на $2a$, получив $x = \frac{a^2 + k}{2a}$.

Полученное уравнение $x = C$, где $C = \frac{a^2 + k}{2a}$ является константой, задает на плоскости $(x, y)$ прямую, параллельную оси Oy (оси ординат). В нашей системе координат прямая, проходящая через точки A и B, совпадает с осью Ox (осью абсцисс). Прямые, параллельные оси Oy, перпендикулярны оси Ox. Таким образом, искомое множество точек M — это прямая, перпендикулярная прямой AB.

Ответ: Искомое множество точек — это прямая, перпендикулярная прямой, на которой лежат точки A и B.