Номер 1069, страница 265 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

99. Уравнение прямой. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1069, страница 265.

1069 Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки А в 2 раза больше расстояния от точки В.

Решение

Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 324, а. Тогда точки A и B имеют координаты A(0;0), B(а;0), где а=AB.

Найдём расстояния от произвольной точки M(x;у) до точек A и B:

$AM=\sqrt{x^2+y^2},$

$BM=\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+y^2}.$

Если точка M (x; у) принадлежит искомому множеству, то

AM=2BM, или AM²=4BM².

Поэтому её координаты удовлетворяют уравнению

x²+y²=4((x−a)²+y²). (8)

Если же точка M не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению.

Следовательно, уравнение (8) и есть уравнение искомого множества точек в выбранной системе координат. Раскрывая скобки и группируя слагаемые соответствующим образом, приводим уравнение (8) к виду

${\left(x-\frac{4}{3}a\right)}^2+y^2={\left(\frac{2}{3}a\right)}^2.$

Таким образом, искомым множеством точек является окружность радиуса $\frac{2}{3}a$ с центром в точке $C\left(\frac{4}{3}a;0\right).$ Эта окружность изображена на рисунке 324, б.

Замечание

Аналогично можно доказать, что множеством всех точек M, удовлетворяющих условию AM=kBM, где k — данное положительное число, не равное единице, является окружность радиуса $\frac{ka}{\left|k^2-1\right|}$ с центром в точке $\left(\frac{k^{2}a}{k^2-1};0\right).$

Эти окружности, соответствующие различным значениям k ≠ 1, называют окружностями Аполлония, поскольку они рассматривались ещё древнегреческим математиком Аполлонием в его трактате «О кругах» во II в. до н. э.

Если k = 1, то задача сводится к известной нам задаче о нахождении множества всех точек, равноудалённых от точек A и B. Таким множеством, как мы знаем, является серединный перпендикуляр к отрезку AB.

Решение

Для нахождения искомого множества точек введем прямоугольную систему координат. Расположим точку A в начале координат, так что ее координаты будут $A(0; 0)$. Точку B расположим на оси абсцисс (оси Ox), тогда ее координаты будут $B(a; 0)$, где $a$ — это расстояние между точками A и B, то есть $a = AB$.

Пусть $M(x; y)$ — произвольная точка, принадлежащая искомому множеству. По условию задачи, расстояние от точки M до точки A в 2 раза больше расстояния от точки M до точки B. Это можно записать в виде равенства:

$AM = 2 \cdot BM$

Чтобы избавиться от квадратных корней в формуле расстояния, удобнее работать с квадратами расстояний. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$AM^2 = (2 \cdot BM)^2$

$AM^2 = 4 \cdot BM^2$

Теперь выразим квадраты расстояний $AM^2$ и $BM^2$ через координаты точек, используя формулу квадрата расстояния $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$:

$AM^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$

$BM^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = (x - a)^2 + y^2$

Подставим эти выражения в наше уравнение $AM^2 = 4 \cdot BM^2$:

$x^2 + y^2 = 4 \left( (x - a)^2 + y^2 \right)$

Раскроем скобки и преобразуем полученное уравнение:

$x^2 + y^2 = 4 (x^2 - 2ax + a^2 + y^2)$

$x^2 + y^2 = 4x^2 - 8ax + 4a^2 + 4y^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону (в правую), чтобы получить уравнение искомого множества:

$(4x^2 - x^2) - 8ax + 4a^2 + (4y^2 - y^2) = 0$

$3x^2 - 8ax + 4a^2 + 3y^2 = 0$

Чтобы привести это уравнение к каноническому виду уравнения окружности, разделим все члены на 3:

$x^2 - \frac{8}{3}ax + \frac{4}{3}a^2 + y^2 = 0$

Теперь выделим полный квадрат для переменной $x$. Для этого сгруппируем члены, содержащие $x$, и добавим и вычтем квадрат половины коэффициента при $x$ (то есть квадрат от $\frac{1}{2} \cdot (-\frac{8}{3}a) = -\frac{4}{3}a$):

$\left(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{4}{3}a + \left(\frac{4}{3}a\right)^2\right) - \left(\frac{4}{3}a\right)^2 + \frac{4}{3}a^2 + y^2 = 0$

Свернем полный квадрат и приведем подобные слагаемые:

$\left(x - \frac{4}{3}a\right)^2 - \frac{16}{9}a^2 + \frac{12}{9}a^2 + y^2 = 0$

$\left(x - \frac{4}{3}a\right)^2 + y^2 - \frac{4}{9}a^2 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$\left(x - \frac{4}{3}a\right)^2 + y^2 = \frac{4}{9}a^2$

Это уравнение можно записать в виде:

$\left(x - \frac{4}{3}a\right)^2 + (y - 0)^2 = \left(\frac{2}{3}a\right)^2$

Данное уравнение является каноническим уравнением окружности вида $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Сравнивая, находим параметры окружности:

• Координаты центра: $(x_0; y_0) = \left(\frac{4}{3}a; 0\right)$
• Радиус: $R = \frac{2}{3}a$

Центр окружности $C\left(\frac{4}{3}a; 0\right)$ лежит на оси Ox, то есть на прямой, проходящей через точки A и B. Расстояние от центра C до точки A (начала координат) равно $\frac{4}{3}a = \frac{4}{3}AB$. Радиус окружности равен $\frac{2}{3}a = \frac{2}{3}AB$.

Ответ: Искомое множество точек — это окружность с центром в точке C, лежащей на прямой AB на расстоянии $\frac{4}{3}AB$ от точки A (причем точка B лежит между A и C), и радиусом $R = \frac{2}{3}AB$.