номер 1069 (страница 265) гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов, Кадомцев

1069 Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки А в 2 раза больше расстояния от точки В.

Решение

Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 324, а. Тогда точки A и B имеют координаты A (0; 0), B (а; 0), где а = AB.

Найдём расстояния от произвольной точки M (x; у) до точек A и B:

Если точка M (x; у) принадлежит искомому множеству, то

AM = 2BM, или AM² = 4BM².

Поэтому её координаты удовлетворяют уравнению

x² + y² = 4 ((x − a)² + y²). (8)

Если же точка M не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению.

Следовательно, уравнение (8) и есть уравнение искомого множества точек в выбранной системе координат. Раскрывая скобки и группируя слагаемые соответствующим образом, приводим уравнение (8) к виду

Таким образом, искомым множеством точек является окружность радиуса 23a с центром в точке C| 43a; 0 |. Эта окружность изображена на рисунке 324, б.

Замечание

Аналогично можно доказать, что множеством всех точек M, удовлетворяющих условию AM = kBM, где k — данное положительное число, не равное единице, является окружность радиуса ka| k² - 1 | с центром в точке k²ak² - 1; 0.

Эти окружности, соответствующие различным значениям k ≠ 1, называют окружностями Аполлония, поскольку они рассматривались ещё древнегреческим математиком Аполлонием в его трактате «О кругах» во II в. до н. э.

Если k = 1, то задача сводится к известной нам задаче о нахождении множества всех точек, равноудалённых от точек A и B. Таким множеством, как мы знаем, является серединный перпендикуляр к отрезку AB.