Страница 267 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1070 Точка В — середина отрезка АС, длина которого равна 2. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых:
а) АМ² + ВМ² + СМ² = 50; б) АМ² + 2ВМ² + 3СМ² = 4.

Для решения задачи введем систему координат. Пусть точка $B$ — начало координат $(0, 0)$. Поскольку точка $B$ является серединой отрезка $AC$ и длина $AC = 2$, то длина отрезков $AB$ и $BC$ равна 1. Разместим отрезок $AC$ на оси абсцисс. Тогда координаты точек будут следующими:

• $A(-1, 0)$
• $B(0, 0)$
• $C(1, 0)$

Пусть точка $M$ имеет произвольные координаты $(x, y)$.

Выразим квадраты расстояний от точки $M$ до точек $A$, $B$ и $C$ через их координаты, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

• $AM^2 = (x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = (x+1)^2 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$
• $BM^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$
• $CM^2 = (x - 1)^2 + (y - 0)^2 = (x-1)^2 + y^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2$

а) Найдем множество точек $M$, для которых выполняется равенство $AM^2 + BM^2 + CM^2 = 50$.

Подставим полученные выражения в данное равенство:

$(x^2 + 2x + 1 + y^2) + (x^2 + y^2) + (x^2 - 2x + 1 + y^2) = 50$

Сгруппируем и упростим слагаемые:

$(x^2 + x^2 + x^2) + (2x - 2x) + (y^2 + y^2 + y^2) + (1 + 1) = 50$

$3x^2 + 3y^2 + 2 = 50$

$3x^2 + 3y^2 = 48$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 + y^2 = 16$

Это уравнение окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$. Поскольку точка $B$ имеет координаты $(0, 0)$, искомое множество точек $M$ — это окружность с центром в точке $B$ и радиусом 4.

Ответ: окружность с центром в точке B и радиусом 4.

б) Найдем множество точек $M$, для которых выполняется равенство $AM^2 + 2BM^2 + 3CM^2 = 4$.

Подставим выражения для квадратов расстояний в это равенство:

$(x^2 + 2x + 1 + y^2) + 2(x^2 + y^2) + 3(x^2 - 2x + 1 + y^2) = 4$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2x^2 + 2y^2 + 3x^2 - 6x + 3 + 3y^2 = 4$

$(x^2 + 2x^2 + 3x^2) + (2x - 6x) + (y^2 + 2y^2 + 3y^2) + (1 + 3) = 4$

$6x^2 - 4x + 6y^2 + 4 = 4$

$6x^2 - 4x + 6y^2 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$3x^2 - 2x + 3y^2 = 0$

Для приведения уравнения к каноническому виду окружности $(x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2$ выделим полный квадрат для переменной $x$.

$3(x^2 - \frac{2}{3}x) + 3y^2 = 0$

$3(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 - (\frac{1}{3})^2) + 3y^2 = 0$

$3((x - \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9}) + 3y^2 = 0$

$3(x - \frac{1}{3})^2 - 3 \cdot \frac{1}{9} + 3y^2 = 0$

$3(x - \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} + 3y^2 = 0$

$3(x - \frac{1}{3})^2 + 3y^2 = \frac{1}{3}$

Разделим обе части на 3:

$(x - \frac{1}{3})^2 + y^2 = \frac{1}{9}$

Это уравнение окружности с центром в точке $O(\frac{1}{3}, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$. Точка $O(\frac{1}{3}, 0)$ лежит на отрезке $BC$, поскольку координаты точек $B$ и $C$ равны $(0,0)$ и $(1,0)$ соответственно. Расстояние от $B(0,0)$ до $O(\frac{1}{3},0)$ равно $\frac{1}{3}$, а от $O(\frac{1}{3},0)$ до $C(1,0)$ равно $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$. Таким образом, точка $O$ делит отрезок $BC$ в отношении $1:2$, считая от точки $B$.

Ответ: окружность с центром в точке O, которая делит отрезок BC в отношении 1:2, считая от точки B, и радиусом $\frac{1}{3}$.

1071 Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых АМ² + ВМ² = k², где k — данное число.

Для решения этой задачи воспользуемся методом координат. Пусть точки А и В лежат на оси Ox, а начало координат O — середина отрезка AB. Обозначим расстояние AB через $2a$, где $a > 0$. Тогда точки A и B будут иметь координаты $A(-a, 0)$ и $B(a, 0)$.

Пусть точка M имеет произвольные координаты $(x, y)$.

Теперь найдем квадраты расстояний AM и BM по формуле расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, которое равно $(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$.

Квадрат расстояния от M(x, y) до A(-a, 0):
$AM^2 = (x - (-a))^2 + (y - 0)^2 = (x + a)^2 + y^2$

Квадрат расстояния от M(x, y) до B(a, 0):
$BM^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = (x - a)^2 + y^2$

Согласно условию задачи, сумма этих квадратов равна $k^2$:

$AM^2 + BM^2 = k^2$

Подставим полученные выражения в это уравнение:

$(x + a)^2 + y^2 + (x - a)^2 + y^2 = k^2$

Раскроем скобки:

$(x^2 + 2ax + a^2) + y^2 + (x^2 - 2ax + a^2) + y^2 = k^2$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 2y^2 + 2a^2 = k^2$

Перенесем $2a^2$ в правую часть и разделим уравнение на 2:

$2(x^2 + y^2) = k^2 - 2a^2$

$x^2 + y^2 = \frac{k^2 - 2a^2}{2}$

Это уравнение описывает окружность с центром в точке O(0, 0), которая является серединой отрезка AB. Обозначим квадрат радиуса этой окружности как $R^2$.

$R^2 = \frac{k^2 - 2a^2}{2}$

Поскольку $2a = AB$, то $a = \frac{AB}{2}$, и $2a^2 = 2 \left(\frac{AB}{2}\right)^2 = \frac{AB^2}{2}$. Тогда:

$R^2 = \frac{k^2 - \frac{AB^2}{2}}{2} = \frac{2k^2 - AB^2}{4}$

Теперь проанализируем возможные случаи в зависимости от значения $k$.

1. Если $k^2 > \frac{AB^2}{2}$

В этом случае $R^2 = \frac{2k^2 - AB^2}{4} > 0$. Уравнение $x^2 + y^2 = R^2$ задает окружность с центром в середине отрезка AB и радиусом $R = \sqrt{\frac{2k^2 - AB^2}{4}} = \frac{\sqrt{2k^2 - AB^2}}{2}$.

2. Если $k^2 = \frac{AB^2}{2}$

В этом случае $R^2 = 0$. Уравнение $x^2 + y^2 = 0$ имеет единственное решение $x=0, y=0$. Это означает, что искомое множество состоит из одной точки — середины отрезка AB.

3. Если $k^2 < \frac{AB^2}{2}$

В этом случае $R^2 < 0$. Уравнение $x^2 + y^2 = R^2$ не имеет решений в действительных числах, так как сумма квадратов не может быть отрицательной. Следовательно, искомое множество точек является пустым множеством.

Ответ: Искомое множество точек M зависит от соотношения между $k^2$ и $\frac{AB^2}{2}$:

• Если $k^2 > \frac{AB^2}{2}$, то множество точек M — это окружность с центром в середине отрезка AB и радиусом $R = \frac{\sqrt{2k^2 - AB^2}}{2}$.
• Если $k^2 = \frac{AB^2}{2}$, то множество точек M состоит из одной точки — середины отрезка AB.
• Если $k^2 < \frac{AB^2}{2}$, то таких точек M не существует (пустое множество).

1072 Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых AM² − BM² = k, где k — данное число.

Решение

Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка А была началом координат, а точка В имела координаты (а; 0), где а = AB. Найдём расстояния от произвольной точки M (x; у) до точек A и B: AM = x² + y², BM = (x - a)² + y²

Если точка M (x; у) принадлежит искомому множеству, то AM² − BM² = k, поэтому координаты точки M удовлетворяют уравнению x² + y² − (x − a)² − y² = k, или 2ax − a² − k = 0.

Если же точка M не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению. Итак, полученное уравнение является уравнением искомого множества точек. Но этим уравнением определяется прямая, параллельная оси Оу, если a² + k ≠ 0, и сама ось Оу, если a² + k = 0. Таким образом, искомым множеством точек является прямая, перпендикулярная к прямой AB.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Расположим ее так, чтобы точка A была началом координат (0, 0), а точка B лежала на оси Ox. Тогда координаты точки B будут $(a, 0)$, где $a$ — это расстояние между A и B, $a = AB$. Будем считать, что точки A и B не совпадают, то есть $a > 0$.

Пусть точка M с координатами $(x, y)$ принадлежит искомому множеству. Найдем квадраты расстояний от точки M до точек A и B, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками. Для отрезка AM, где $A(0, 0)$ и $M(x, y)$, получаем $AM^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$. Для отрезка BM, где $B(a, 0)$ и $M(x, y)$, получаем $BM^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = (x - a)^2 + y^2$.

По условию задачи, для точки M выполняется равенство $AM^2 - BM^2 = k$, где $k$ — данное число. Подставим полученные выражения в это равенство: $(x^2 + y^2) - ((x - a)^2 + y^2) = k$.

Раскроем скобки и упростим уравнение. Сначала раскроем квадрат разности: $(x^2 + y^2) - (x^2 - 2ax + a^2 + y^2) = k$. Затем раскроем вторые скобки: $x^2 + y^2 - x^2 + 2ax - a^2 - y^2 = k$.

После взаимного уничтожения слагаемых $x^2$ и $y^2$, уравнение принимает вид: $2ax - a^2 = k$. Мы получили линейное уравнение относительно $x$. Перенесем константы в правую часть: $2ax = a^2 + k$.

Поскольку точки A и B различны, $a \neq 0$, и мы можем разделить обе части на $2a$, получив $x = \frac{a^2 + k}{2a}$.

Полученное уравнение $x = C$, где $C = \frac{a^2 + k}{2a}$ является константой, задает на плоскости $(x, y)$ прямую, параллельную оси Oy (оси ординат). В нашей системе координат прямая, проходящая через точки A и B, совпадает с осью Ox (осью абсцисс). Прямые, параллельные оси Oy, перпендикулярны оси Ox. Таким образом, искомое множество точек M — это прямая, перпендикулярная прямой AB.

Ответ: Искомое множество точек — это прямая, перпендикулярная прямой, на которой лежат точки A и B.

1073 Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых ВМ² − АМ² = 2AB².

Для решения этой задачи воспользуемся методом координат.

1. Введение системы координат.
Пусть точки A и B лежат на оси абсцисс $Ox$. Для упрощения вычислений поместим точку A в начало координат. Тогда координаты точек будут следующими:

• Точка A имеет координаты $A(0, 0)$.
• Пусть расстояние между A и B равно $d$. Тогда точка B имеет координаты $B(d, 0)$. Так как точки A и B различны, $d > 0$.
• Пусть точка M, принадлежащая искомому множеству, имеет произвольные координаты $M(x, y)$.

2. Выражение расстояний через координаты.
Теперь выразим квадраты расстояний, фигурирующих в условии задачи, через координаты точек.

• Квадрат расстояния AM: $AM^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$.
• Квадрат расстояния BM: $BM^2 = (x - d)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 2dx + d^2 + y^2$.
• Квадрат расстояния AB: $AB^2 = (d - 0)^2 + (0 - 0)^2 = d^2$.

3. Подстановка в исходное уравнение и его упрощение.
Подставим полученные выражения в данное по условию равенство $BM^2 - AM^2 = 2AB^2$:

$(x^2 - 2dx + d^2 + y^2) - (x^2 + y^2) = 2(d^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 2dx + d^2 + y^2 - x^2 - y^2 = 2d^2$

$-2dx + d^2 = 2d^2$

$-2dx = 2d^2 - d^2$

$-2dx = d^2$

Поскольку точки A и B различны, то расстояние $d \ne 0$. Значит, мы можем разделить обе части уравнения на $-2d$:

$x = \frac{d^2}{-2d}$

$x = -\frac{d}{2}$

4. Геометрическая интерпретация результата.
Уравнение $x = -\frac{d}{2}$ задает прямую линию. Эта прямая параллельна оси $Oy$ и, следовательно, перпендикулярна оси $Ox$, на которой лежат точки A и B.

Эта прямая проходит через точку $C$ с координатами $(-\frac{d}{2}, 0)$. Давайте определим положение этой точки относительно A и B:

• $A(0, 0)$
• $B(d, 0)$
• $C(-\frac{d}{2}, 0)$

Точка C лежит на той же прямой, что и A и B. Расстояние от A до C равно $\frac{d}{2}$. Расстояние от A до B равно $d$. Точка C находится на продолжении отрезка BA за точку A. Серединой отрезка CB является точка с координатами $(\frac{d + (-\frac{d}{2})}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{d/2}{2}, 0) = (\frac{d}{4}, 0)$, что не является точкой A. Давайте проверим иначе. Серединой отрезка CB является точка с координатами $\frac{x_C+x_B}{2} = \frac{-d/2 + d}{2} = \frac{d/2}{2} = \frac{d}{4}$. Это не точка А. Рассмотрим точку, симметричную B относительно A. Если A — центр симметрии, то ее координаты являются средним арифметическим координат симметричных точек B и C. $x_A = \frac{x_B + x_C}{2} \Rightarrow 0 = \frac{d + x_C}{2} \Rightarrow x_C = -d$. Моя интерпретация выше была неверна.

Давайте вернемся к результату $x = -\frac{d}{2}$. Это точка, лежащая на прямой AB на расстоянии $d/2$ от A, в сторону, противоположную B. То есть, если мы рассмотрим точку $C$ на прямой AB, такую, что A является серединой отрезка CB, то ее координата будет $-d$. Если же мы рассмотрим точку $C$, которая является серединой отрезка, соединяющего A с точкой, симметричной B относительно A, то ее координата будет $(0 + (-d))/2 = -d/2$.

Рассмотрим точку $K$, симметричную точке B относительно A. Ее координаты будут $(-d, 0)$. Точка $C(-\frac{d}{2}, 0)$ является серединой отрезка AK.

Давайте опишем положение точки $C(-\frac{d}{2}, 0)$ более просто. Это точка, которая лежит на продолжении отрезка BA за точку A на расстоянии, равном половине длины отрезка AB. Таким образом, искомое множество точек M — это прямая, перпендикулярная прямой AB и проходящая через точку C, которая лежит на прямой AB на расстоянии $\frac{AB}{2}$ от точки A, причем A находится между C и B.

Ответ: Искомое множество точек M — это прямая, перпендикулярная прямой AB и проходящая через такую точку C на прямой AB, что расстояние AC равно половине расстояния AB, и точка A лежит между точками C и B.

1074 Дан прямоугольник ABCD. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поместим прямоугольник $ABCD$ в декартову систему координат так, чтобы вершина $A$ совпала с началом координат, а стороны $AB$ и $AD$ лежали на осях $Ox$ и $Oy$ соответственно. Пусть длина стороны $AB$ равна $w$, а длина стороны $AD$ равна $h$. Тогда вершины прямоугольника будут иметь следующие координаты:

• $A(0, 0)$
• $B(w, 0)$
• $D(0, h)$
• $C(w, h)$

Пусть точка $M$ имеет произвольные координаты $(x, y)$.

Теперь найдем квадраты расстояний от точки $M$ до каждой из вершин прямоугольника, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, которая равна $(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$:

• $AM^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$
• $DM^2 = (x - 0)^2 + (y - h)^2 = x^2 + (y - h)^2 = x^2 + y^2 - 2hy + h^2$
• $BM^2 = (x - w)^2 + (y - 0)^2 = (x - w)^2 + y^2 = x^2 - 2wx + w^2 + y^2$
• $CM^2 = (x - w)^2 + (y - h)^2 = x^2 - 2wx + w^2 + y^2 - 2hy + h^2$

Подставим эти выражения в данное в условии равенство:

$(AM^2 + DM^2) - (BM^2 + CM^2) = 2AB^2$

Сначала вычислим выражения в скобках:

$AM^2 + DM^2 = (x^2 + y^2) + (x^2 + y^2 - 2hy + h^2) = 2x^2 + 2y^2 - 2hy + h^2$

$BM^2 + CM^2 = (x^2 - 2wx + w^2 + y^2) + (x^2 - 2wx + w^2 + y^2 - 2hy + h^2) = 2x^2 - 4wx + 2w^2 + 2y^2 - 2hy + h^2$

Теперь подставим эти суммы в исходное уравнение. Учтем, что длина стороны $AB$ равна $w$, поэтому $AB^2 = w^2$.

$(2x^2 + 2y^2 - 2hy + h^2) - (2x^2 - 4wx + 2w^2 + 2y^2 - 2hy + h^2) = 2w^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 2y^2 - 2hy + h^2 - 2x^2 + 4wx - 2w^2 - 2y^2 + 2hy - h^2 = 2w^2$

Многие слагаемые взаимно уничтожаются:

$(2x^2 - 2x^2) + (2y^2 - 2y^2) + (-2hy + 2hy) + (h^2 - h^2) + 4wx - 2w^2 = 2w^2$

В результате получаем простое уравнение:

$4wx - 2w^2 = 2w^2$

Перенесем член $-2w^2$ в правую часть уравнения:

$4wx = 4w^2$

Так как $ABCD$ — прямоугольник, его сторона $AB=w$ имеет ненулевую длину ($w > 0$). Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $4w$:

$x = w$

Уравнение $x = w$ задает на плоскости прямую, все точки которой имеют абсциссу, равную $w$. В нашей системе координат это вертикальная прямая, проходящая через точки $B(w, 0)$ и $C(w, h)$. Таким образом, искомое множество точек $M$ — это прямая, на которой лежит сторона $BC$ прямоугольника.

Ответ: Искомое множество точек $M$ — это прямая, содержащая сторону $BC$ прямоугольника.

1075* Дан ромб ABCD, диагонали которого равны 2а и 2b. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых

АМ² + DМ² = ВМ² + СМ².

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть центр ромба $ABCD$, который является точкой пересечения его диагоналей, совпадает с началом координат $O(0, 0)$. Расположим диагонали ромба на осях координат. Пусть диагональ $AC$ длиной $2a$ лежит на оси абсцисс ($Ox$), а диагональ $BD$ длиной $2b$ — на оси ординат ($Oy$). В этой системе координат вершины ромба будут иметь следующие координаты: $A(-a, 0)$, $C(a, 0)$, $B(0, b)$ и $D(0, -b)$.

Пусть $M(x, y)$ — произвольная точка, удовлетворяющая условию задачи. Найдем квадраты расстояний от точки $M$ до каждой из вершин ромба, используя формулу для квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$.

• $AM^2 = (x - (-a))^2 + (y - 0)^2 = (x + a)^2 + y^2 = x^2 + 2ax + a^2 + y^2$
• $DM^2 = (x - 0)^2 + (y - (-b))^2 = x^2 + (y + b)^2 = x^2 + y^2 + 2by + b^2$
• $BM^2 = (x - 0)^2 + (y - b)^2 = x^2 + (y - b)^2 = x^2 + y^2 - 2by + b^2$
• $CM^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = (x - a)^2 + y^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2$

Теперь подставим эти выражения в исходное равенство $AM^2 + DM^2 = BM^2 + CM^2$.

Левая часть равенства:
$AM^2 + DM^2 = (x^2 + 2ax + a^2 + y^2) + (x^2 + y^2 + 2by + b^2) = 2x^2 + 2y^2 + 2ax + 2by + a^2 + b^2$.

Правая часть равенства:
$BM^2 + CM^2 = (x^2 + y^2 - 2by + b^2) + (x^2 - 2ax + a^2 + y^2) = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$.

Приравнивая левую и правую части, получаем:

$2x^2 + 2y^2 + 2ax + 2by + a^2 + b^2 = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$

После сокращения одинаковых слагаемых ($2x^2, 2y^2, a^2, b^2$) в обеих частях уравнения, получим:

$2ax + 2by = -2ax - 2by$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$4ax + 4by = 0$

Разделив на 4 (поскольку для ромба $a > 0$ и $b > 0$), приходим к уравнению:

$ax + by = 0$

Это линейное уравнение, которое задает прямую линию. Так как свободный член равен нулю, эта прямая проходит через начало координат $O(0, 0)$, то есть через центр ромба.

Для того чтобы понять геометрическое расположение этой прямой, найдем вектор, соответствующий стороне $AB$ ромба. Координаты вектора $\vec{AB}$ равны разности координат его конца (точки $B$) и начала (точки $A$):

$\vec{AB} = (0 - (-a), b - 0) = (a, b)$

Уравнение $ax + by = 0$ можно интерпретировать как скалярное произведение двух векторов: вектора $\vec{n}=(a,b)$ и вектора положения точки $M$ относительно начала координат, $\vec{OM} = (x, y)$. Их скалярное произведение равно $a \cdot x + b \cdot y$. Таким образом, наше уравнение эквивалентно $\vec{n} \cdot \vec{OM} = 0$. Так как $\vec{n} = \vec{AB}$, мы имеем:

$\vec{AB} \cdot \vec{OM} = 0$

Равенство скалярного произведения нулю означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{OM}$ ортогональны (перпендикулярны). Это значит, что вектор $\vec{OM}$ лежит на прямой, перпендикулярной вектору $\vec{AB}$. Следовательно, множество всех точек $M$ образует прямую, которая проходит через центр ромба $O$ и перпендикулярна его стороне $AB$.

Ответ: Искомое множество точек $M$ — это прямая, проходящая через центр ромба (точку пересечения его диагоналей) и перпендикулярная стороне $AB$ (а также параллельной ей стороне $DC$).

1 Сформулируйте и докажите лемму о коллинеарных векторах.

Формулировка

Вектор $\vec{b}$ коллинеарен ненулевому вектору $\vec{a}$ тогда и только тогда, когда существует единственное число $k$, такое что $\vec{b} = k\vec{a}$.

Доказательство

Доказательство утверждения "тогда и только тогда" состоит из доказательства двух утверждений: необходимости и достаточности.

1. Необходимость (прямое утверждение)

Докажем, что если вектор $\vec{b}$ коллинеарен ненулевому вектору $\vec{a}$ ($\vec{a} \neq \vec{0}$), то существует единственное число $k$, для которого $\vec{b} = k\vec{a}$.

Существование числа k:

Рассмотрим два возможных случая:

а) Вектор $\vec{b}$ — нулевой, то есть $\vec{b} = \vec{0}$. В этом случае равенство $\vec{b} = k\vec{a}$ будет верным при $k=0$, так как $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$. Число $k=0$ существует.

б) Вектор $\vec{b}$ — ненулевой, то есть $\vec{b} \neq \vec{0}$. Так как по условию векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и оба ненулевые, они могут быть либо сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$), либо противоположно направлены ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$).

— Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены, то их единичные векторы (векторы единичной длины, сонаправленные с исходными) равны: $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$. Выражая из этого равенства $\vec{b}$, получаем $\vec{b} = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\vec{a}$. Обозначим $k = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$. Так как длины векторов — положительные величины, то $k > 0$. Таким образом, $\vec{b} = k\vec{a}$.

— Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены, то их единичные векторы противоположны: $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = -\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$. Выражая отсюда $\vec{b}$, получаем $\vec{b} = -\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\vec{a}$. Обозначим $k = -\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$. В этом случае $k < 0$. Таким образом, $\vec{b} = k\vec{a}$.

Итак, мы показали, что во всех случаях такое число $k$ существует.

Единственность числа k:

Теперь докажем, что это число $k$ единственно. Предположим обратное: существуют два различных числа $k_1$ и $k_2$ ($k_1 \neq k_2$) такие, что $\vec{b} = k_1\vec{a}$ и $\vec{b} = k_2\vec{a}$. Тогда $k_1\vec{a} = k_2\vec{a}$, откуда следует, что $k_1\vec{a} - k_2\vec{a} = \vec{0}$, то есть $(k_1 - k_2)\vec{a} = \vec{0}$. По условию вектор $\vec{a}$ ненулевой ($\vec{a} \neq \vec{0}$). Произведение ненулевого вектора на число равно нулевому вектору только тогда, когда это число равно нулю. Следовательно, $k_1 - k_2 = 0$, что означает $k_1 = k_2$. Это противоречит нашему предположению, что $k_1 \neq k_2$. Значит, число $k$ единственно.

2. Достаточность (обратное утверждение)

Докажем, что если для ненулевого вектора $\vec{a}$ и вектора $\vec{b}$ выполняется равенство $\vec{b} = k\vec{a}$ для некоторого числа $k$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Рассмотрим три возможных случая для значения $k$:

а) Если $k = 0$, то $\vec{b} = 0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$. Нулевой вектор по определению коллинеарен любому вектору, значит, $\vec{b}$ коллинеарен $\vec{a}$.

б) Если $k > 0$, то из определения операции умножения вектора на положительное число следует, что вектор $\vec{b}$ сонаправлен вектору $\vec{a}$ ($\vec{b} \uparrow\uparrow \vec{a}$). Сонаправленные векторы по определению коллинеарны.

в) Если $k < 0$, то из определения операции умножения вектора на отрицательное число следует, что вектор $\vec{b}$ противоположно направлен вектору $\vec{a}$ ($\vec{b} \uparrow\downarrow \vec{a}$). Противоположно направленные векторы по определению коллинеарны.

Таким образом, во всех случаях векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются коллинеарными. Лемма полностью доказана.

Ответ: Вектор $\vec{b}$ коллинеарен ненулевому вектору $\vec{a}$ тогда и только тогда, когда существует единственное число $k$, такое что $\vec{b} = k\vec{a}$.

2 Что значит разложить вектор по двум данным векторам?

Разложить вектор $\vec{c}$ по двум данным векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — это значит представить вектор $\vec{c}$ в виде их линейной комбинации.

Определение и формула

Математически это означает найти такие два действительных числа (скаляра) $x$ и $y$, чтобы выполнялось векторное равенство: $$ \vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b} $$ Выражение $x\vec{a} + y\vec{b}$ называется линейной комбинацией векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, а числа $x$ и $y$ — коэффициентами разложения или координатами вектора $\vec{c}$ в базисе $\{\vec{a}, \vec{b}\}$.

Условие возможности и единственности разложения

Для того чтобы любой вектор $\vec{c}$, лежащий в одной плоскости с векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, можно было разложить по этим векторам, необходимо и достаточно, чтобы векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ были неколлинеарными. Это означает, что они не должны лежать на одной прямой или на параллельных прямых.

Если это условие выполнено, то пара векторов $(\vec{a}, \vec{b})$ образует базис на плоскости. Теорема о разложении по базису гласит, что любой вектор плоскости можно разложить по базисным векторам, причем коэффициенты разложения $(x, y)$ определяются однозначно.

Если же векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то разложить по ним можно только те векторы, которые им же коллинеарны, и такое разложение будет не единственным.

Геометрическая интерпретация

Геометрически разложение $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ соответствует построению по правилу параллелограмма. Если отложить все три вектора из одной точки $O$, то вектор $\vec{c}$ будет диагональю параллелограмма, сторонами которого являются векторы $x\vec{a}$ и $y\vec{b}$. Вектор $x\vec{a}$ лежит на прямой, содержащей вектор $\vec{a}$, а вектор $y\vec{b}$ — на прямой, содержащей вектор $\vec{b}$.

Ответ: Разложить вектор $\vec{c}$ по двум данным неколлинеарным векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — это найти единственную пару числовых коэффициентов $(x, y)$ таких, что исходный вектор $\vec{c}$ представляется в виде их линейной комбинации: $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$.

3 Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

Формулировка теоремы

Любой вектор $\vec{p}$ на плоскости можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то есть представить в виде $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$, где $x$ и $y$ — некоторые числа. Причем коэффициенты разложения $x$ и $y$ определяются единственным образом.

Доказательство

Доказательство состоит из двух частей: доказательства существования разложения и доказательства его единственности.

1. Существование разложения

Пусть $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — два неколлинеарных вектора. Отложим от произвольной точки $O$ векторы $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ и $\vec{OP} = \vec{p}$.

Так как векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны, то прямые $OA$ и $OB$ пересекаются в единственной точке $O$.

Проведем через точку $P$ прямую, параллельную прямой $OB$. Эта прямая пересечет прямую $OA$ в некоторой точке $P_1$. Также проведем через точку $P$ прямую, параллельную прямой $OA$. Эта прямая пересечет прямую $OB$ в некоторой точке $P_2$.

По правилу параллелограмма для сложения векторов (четырехугольник $OP_1PP_2$ — параллелограмм) имеем: $\vec{OP} = \vec{OP_1} + \vec{OP_2}$.

Вектор $\vec{OP_1}$ лежит на прямой $OA$, поэтому он коллинеарен вектору $\vec{OA} = \vec{a}$. Следовательно, существует такое число $x$, что $\vec{OP_1} = x\vec{a}$.

Аналогично, вектор $\vec{OP_2}$ лежит на прямой $OB$, поэтому он коллинеарен вектору $\vec{OB} = \vec{b}$. Следовательно, существует такое число $y$, что $\vec{OP_2} = y\vec{b}$.

Подставив эти выражения в равенство для $\vec{OP}$, получим:$\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$.

Таким образом, мы представили вектор $\vec{p}$ в виде линейной комбинации векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Существование разложения доказано.

2. Единственность разложения

Докажем, что коэффициенты $x$ и $y$ определяются единственным образом. Предположим, что существует другое разложение вектора $\vec{p}$ по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с другими коэффициентами $x_1$ и $y_1$:

$\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$

$\vec{p} = x_1\vec{a} + y_1\vec{b}$

Вычтем из первого равенства второе:

$\vec{0} = (x\vec{a} + y\vec{b}) - (x_1\vec{a} + y_1\vec{b})$

Сгруппируем слагаемые:

$(x - x_1)\vec{a} + (y - y_1)\vec{b} = \vec{0}$

Докажем, что это равенство возможно только при $x - x_1 = 0$ и $y - y_1 = 0$. Предположим противное, например, что $x - x_1 \neq 0$. Тогда из равенства можно выразить вектор $\vec{a}$:

$(x - x_1)\vec{a} = -(y - y_1)\vec{b}$

$\vec{a} = -\frac{y - y_1}{x - x_1}\vec{b}$

Пусть $k = -\frac{y - y_1}{x - x_1}$. Тогда $\vec{a} = k\vec{b}$. Это равенство по определению означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Но это противоречит условию теоремы, согласно которому векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны. Следовательно, наше предположение неверно, и коэффициент при $\vec{a}$ должен быть равен нулю:

$x - x_1 = 0 \implies x = x_1$

Подставим это в равенство $(x - x_1)\vec{a} + (y - y_1)\vec{b} = \vec{0}$:

$0 \cdot \vec{a} + (y - y_1)\vec{b} = \vec{0}$

$(y - y_1)\vec{b} = \vec{0}$

Так как вектор $\vec{b}$ по условию ненулевой (иначе он был бы коллинеарен любому вектору), это равенство возможно только если:

$y - y_1 = 0 \implies y = y_1$

Таким образом, мы доказали, что $x = x_1$ и $y = y_1$. Это означает, что разложение вектора по двум неколлинеарным векторам единственно. Теорема полностью доказана.

Ответ: Любой вектор на плоскости может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации двух неколлинеарных векторов $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$, где числа $x$ и $y$ называются коэффициентами разложения.

4 Объясните, как вводится прямоугольная система координат.

Прямоугольная, или декартова, система координат — это способ задания положения точки на плоскости или в пространстве с помощью чисел. Она вводится следующим образом.

Для плоскости (двумерное пространство):

1. Выбираются две взаимно перпендикулярные прямые. Эти прямые называются осями координат.
2. Горизонтальную ось принято называть осью абсцисс и обозначать $Ox$, а вертикальную — осью ординат и обозначать $Oy$.
3. Точка пересечения осей $O$ называется началом координат. По определению, ее координаты равны $(0; 0)$.
4. На каждой оси выбирается положительное направление (обычно указывается стрелкой) и единичный отрезок, который задает масштаб.

После этого каждой точке $M$ на плоскости можно сопоставить упорядоченную пару чисел $(x; y)$ — ее координаты. Для этого через точку $M$ проводят прямые, параллельные осям координат, до пересечения с ними.

• Координата точки пересечения на оси $Ox$ называется абсциссой ($x$).
• Координата точки пересечения на оси $Oy$ называется ординатой ($y$).

Оси координат делят плоскость на четыре координатные четверти (квадранта).

Для пространства (трехмерное пространство):

Введение системы координат в пространстве является обобщением случая на плоскости.

1. Выбираются три взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в одной точке $O$ — начале координат.
2. Эти прямые называются осями координат: $Ox$ (ось абсцисс), $Oy$ (ось ординат) и $Oz$ (ось аппликат).
3. Как и на плоскости, для каждой оси задается положительное направление и единичный отрезок.

Положение любой точки $M$ в пространстве определяется упорядоченной тройкой чисел $(x; y; z)$. Чтобы их найти, через точку $M$ проводят плоскости, параллельные координатным плоскостям ($Oxy$, $Oxz$, $Oyz$). Точки пересечения этих плоскостей с осями $Ox$, $Oy$ и $Oz$ и дают искомые значения координат $x$ (абсцисса), $y$ (ордината) и $z$ (аппликата).

Три координатные плоскости делят пространство на восемь частей (октантов).

Ответ: Прямоугольная система координат вводится путем выбора точки (начала координат) и проходящих через нее взаимно перпендикулярных осей координат (двух на плоскости или трех в пространстве). На каждой оси задается положительное направление и выбирается единичный отрезок (масштаб). Это позволяет сопоставить каждой точке пространства или плоскости уникальный набор чисел (координат).