Номер 6, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 11. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 6, страница 268.

6 Сформулируйте и докажите утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам.

Формулировка утверждения

Любой вектор $\vec{a}$ в пространстве можно разложить по координатным векторам $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом. Иными словами, для любого вектора $\vec{a}$ существует единственная тройка чисел $x, y, z$ такая, что выполняется равенство:

$\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$

Числа $x, y, z$ называются координатами вектора $\vec{a}$ в данном базисе ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$). Запись $\vec{a} = \{x; y; z\}$ означает, что вектор $\vec{a}$ имеет такие координаты.

Здесь $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ — это координатные векторы (орты), которые являются единичными векторами, сонаправленными с осями координат $Ox, Oy, Oz$ соответственно в прямоугольной декартовой системе координат.

Доказательство

Доказательство состоит из двух частей: доказательства существования такого разложения и доказательства его единственности.

1. Существование разложения.

Пусть дана прямоугольная система координат $Oxyz$ и произвольный вектор $\vec{a}$. Отложим вектор $\vec{a}$ от начала координат $O(0; 0; 0)$. Пусть конец вектора попадёт в точку $A$ с координатами $(x; y; z)$. Таким образом, $\vec{a} = \vec{OA}$.

Проведём через точку $A$ плоскости, перпендикулярные осям координат. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим $A_x$, $A_y$ и $A_z$. По построению, точка $A_x$ лежит на оси $Ox$ и имеет координаты $(x; 0; 0)$. Аналогично, $A_y$ лежит на оси $Oy$ с координатами $(0; y; 0)$, а $A_z$ — на оси $Oz$ с координатами $(0; 0; z)$.

Вектор $\vec{OA}$ является диагональю прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{OA_x}$, $\vec{OA_y}$ и $\vec{OA_z}$. По правилу сложения векторов (правило параллелепипеда), мы можем записать:

$\vec{OA} = \vec{OA_x} + \vec{OA_y} + \vec{OA_z}$

Теперь выразим векторы $\vec{OA_x}$, $\vec{OA_y}$ и $\vec{OA_z}$ через координатные орты $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$.

• Вектор $\vec{OA_x}$ коллинеарен вектору $\vec{i}$ (так как лежит на оси $Ox$). Его длина равна $|\vec{OA_x}| = |x|$. Следовательно, $\vec{OA_x} = x \cdot \vec{i}$.
• Аналогично, вектор $\vec{OA_y}$ коллинеарен вектору $\vec{j}$, и его можно представить как $\vec{OA_y} = y \cdot \vec{j}$.
• Точно так же, вектор $\vec{OA_z}$ коллинеарен вектору $\vec{k}$, и $\vec{OA_z} = z \cdot \vec{k}$.

Подставив эти выражения в сумму векторов, получаем:

$\vec{a} = \vec{OA} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$

Таким образом, мы показали, что для любого вектора $\vec{a}$ существует разложение по координатным векторам, где коэффициентами являются координаты конца этого вектора, отложенного от начала координат.

2. Единственность разложения.

Предположим, что существует другое разложение вектора $\vec{a}$ по тем же координатным векторам:

$\vec{a} = x'\vec{i} + y'\vec{j} + z'\vec{k}$

Мы должны доказать, что $x = x'$, $y = y'$ и $z = z'$.

Приравняем два выражения для вектора $\vec{a}$:

$x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} = x'\vec{i} + y'\vec{j} + z'\vec{k}$

Перенесём все члены в левую часть уравнения:

$(x\vec{i} - x'\vec{i}) + (y\vec{j} - y'\vec{j}) + (z\vec{k} - z'\vec{k}) = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые:

$(x - x')\vec{i} + (y - y')\vec{j} + (z - z')\vec{k} = \vec{0}$

Координатные векторы $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ не компланарны (не лежат в одной плоскости), а значит, они линейно независимы. Линейная комбинация линейно независимых векторов равна нулевому вектору ($\vec{0}$) тогда и только тогда, когда все её коэффициенты равны нулю.

Следовательно, должны выполняться равенства:

$x - x' = 0$

$y - y' = 0$

$z - z' = 0$

Отсюда следует, что $x = x'$, $y = y'$ и $z = z'$. Это доказывает, что разложение вектора по координатным векторам единственно. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение, что любой вектор $\vec{a}$ можно представить, и притом единственным образом, в виде $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$, где $x, y, z$ — некоторые числа (координаты вектора), доказано путем установления существования такого разложения (через правило параллелепипеда для вектора, отложенного от начала координат) и его единственности (на основе линейной независимости некомпланарных координатных векторов $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$).