Номер 11, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой. Вопросы для повторения к главе 11 - номер 11, страница 268.

Условие.

11 Выведите формулы для вычисления координат середины отрезка по координатам его концов.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Для вывода формул координат середины отрезка воспользуемся векторным методом. Пусть в прямоугольной системе координат даны две точки — концы отрезка: $A$ с координатами $(x_1, y_1, z_1)$ и $B$ с координатами $(x_2, y_2, z_2)$. Положение этих точек можно описать радиус-векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, проведенными из начала координат $O$. Обозначим их как $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно. Таким образом, $\vec{a} = \{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2, z_2\}$.

Пусть точка $M$ является серединой отрезка $AB$. Её положение задается радиус-вектором $\vec{OM}$, который мы обозначим как $\vec{m}$. Мы хотим найти координаты этого вектора, $(x_M, y_M, z_M)$.

По правилу сложения векторов (правилу треугольника), радиус-вектор точки $M$ можно выразить как сумму векторов $\vec{OA}$ и $\vec{AM}$:

$\vec{OM} = \vec{OA} + \vec{AM}$

Поскольку $M$ — это середина отрезка $AB$, то вектор $\vec{AM}$ равен половине вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$

Вектор $\vec{AB}$ можно найти как разность радиус-векторов его конца и начала:

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$

Теперь подставим все выражения в исходную формулу для $\vec{OM}$:

$\vec{m} = \vec{a} + \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

Упростим это выражение:

$\vec{m} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

Мы получили общую векторную формулу: радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов. Координаты точки равны компонентам ее радиус-вектора. Следовательно, каждая координата точки $M$ будет равна полусумме соответствующих координат точек $A$ и $B$.

Если отрезок задан на плоскости (в 2D) координатами концов $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, то координаты его середины $M(x_M, y_M)$ вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Если отрезок задан в пространстве (в 3D) координатами концов $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$, то координаты его середины $M(x_M, y_M, z_M)$ вычисляются аналогично:

$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$

$z_M = \frac{z_1 + z_2}{2}$

Ответ: Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов. Для отрезка с концами в точках $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ на плоскости, координаты его середины $M(x_M, y_M)$ находятся по формулам:
$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$
$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Для отрезка с концами в точках $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ в пространстве, координаты его середины $M(x_M, y_M, z_M)$ находятся по формулам:
$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$
$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$
$z_M = \frac{z_1 + z_2}{2}$