Номер 11, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 11. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 11, страница 268.

11 Выведите формулы для вычисления координат середины отрезка по координатам его концов.

Для вывода формул координат середины отрезка воспользуемся векторным методом. Пусть в прямоугольной системе координат даны две точки — концы отрезка: $A$ с координатами $(x_1, y_1, z_1)$ и $B$ с координатами $(x_2, y_2, z_2)$. Положение этих точек можно описать радиус-векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, проведенными из начала координат $O$. Обозначим их как $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно. Таким образом, $\vec{a} = \{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2, z_2\}$.

Пусть точка $M$ является серединой отрезка $AB$. Её положение задается радиус-вектором $\vec{OM}$, который мы обозначим как $\vec{m}$. Мы хотим найти координаты этого вектора, $(x_M, y_M, z_M)$.

По правилу сложения векторов (правилу треугольника), радиус-вектор точки $M$ можно выразить как сумму векторов $\vec{OA}$ и $\vec{AM}$:

$\vec{OM} = \vec{OA} + \vec{AM}$

Поскольку $M$ — это середина отрезка $AB$, то вектор $\vec{AM}$ равен половине вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$

Вектор $\vec{AB}$ можно найти как разность радиус-векторов его конца и начала:

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$

Теперь подставим все выражения в исходную формулу для $\vec{OM}$:

$\vec{m} = \vec{a} + \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

Упростим это выражение:

$\vec{m} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

Мы получили общую векторную формулу: радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов. Координаты точки равны компонентам ее радиус-вектора. Следовательно, каждая координата точки $M$ будет равна полусумме соответствующих координат точек $A$ и $B$.

Если отрезок задан на плоскости (в 2D) координатами концов $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, то координаты его середины $M(x_M, y_M)$ вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Если отрезок задан в пространстве (в 3D) координатами концов $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$, то координаты его середины $M(x_M, y_M, z_M)$ вычисляются аналогично:

$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$

$z_M = \frac{z_1 + z_2}{2}$

Ответ: Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов. Для отрезка с концами в точках $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ на плоскости, координаты его середины $M(x_M, y_M)$ находятся по формулам:
$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$
$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Для отрезка с концами в точках $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ в пространстве, координаты его середины $M(x_M, y_M, z_M)$ находятся по формулам:
$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$
$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$
$z_M = \frac{z_1 + z_2}{2}$