Номер 14, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой. Вопросы для повторения к главе 11 - номер 14, страница 268.

Условие.

14 Приведите пример решения геометрической задачи с применением метода координат.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Метод координат — это один из эффективных способов решения геометрических задач. Его суть заключается во введении на плоскости (или в пространстве) прямоугольной системы координат, что позволяет перевести геометрические условия задачи на язык алгебры. Любая точка представляется парой (или тройкой) чисел, а фигуры и их свойства описываются уравнениями и неравенствами. После этого решение задачи сводится к алгебраическим преобразованиям. Рассмотрим применение этого метода на конкретном примере.

Задача: Доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Решение:

1. Введем прямоугольную систему координат $Oxy$. Для удобства вычислений расположим ромб $ABCD$ так, чтобы одна из его вершин, например $A$, совпала с началом координат. Пусть сторона $AD$ ромба лежит на оси абсцисс ($Ox$).

2. Определим координаты вершин ромба. Обозначим длину стороны ромба как $a$, где $a > 0$.
Вершина $A$ находится в начале координат, поэтому ее координаты $A(0, 0)$.
Вершина $D$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии $a$ от начала координат, следовательно, ее координаты $D(a, 0)$.
Вершина $B$ также находится на расстоянии $a$ от вершины $A$. Обозначим ее координаты как $B(b, h)$. По формуле расстояния между двумя точками, квадрат расстояния $AB$ равен $(b-0)^2 + (h-0)^2 = b^2+h^2$. Так как $AB = a$, мы получаем важное соотношение: $b^2 + h^2 = a^2$.
Вершина $C$ получается из вершины $B$ параллельным переносом на вектор $\vec{AD}$. Координаты вектора $\vec{AD}$ равны $(a-0, 0-0)$, то есть $(a, 0)$. Таким образом, координаты вершины $C$ вычисляются как сумма координат точки $B$ и вектора $\vec{AD}$: $C(b+a, h+0)$, то есть $C(a+b, h)$.

Итак, мы определили координаты всех четырех вершин ромба: $A(0, 0)$, $B(b, h)$, $C(a+b, h)$ и $D(a, 0)$.

3. Теперь докажем перпендикулярность диагоналей $AC$ и $BD$. В координатном методе перпендикулярность двух отрезков (или прямых) удобно доказывать через скалярное произведение их векторов: если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны. Найдем координаты векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$.
Координаты вектора $\vec{AC}$ равны разности координат его конца и начала: $\vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (a+b - 0, h - 0) = (a+b, h)$.
Координаты вектора $\vec{BD}$ также находим по разности координат: $\vec{BD} = (x_D - x_B, y_D - y_B) = (a - b, 0 - h) = (a-b, -h)$.

4. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$. Скалярное произведение векторов $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $x_1x_2 + y_1y_2$.
$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (a+b)(a-b) + h(-h)$
Используя формулу разности квадратов, получаем:
$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (a^2 - b^2) - h^2 = a^2 - b^2 - h^2 = a^2 - (b^2 + h^2)$.

5. Вспомним соотношение, полученное в пункте 2: $b^2 + h^2 = a^2$. Подставим его в выражение для скалярного произведения:
$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = a^2 - a^2 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ равно нулю, эти векторы ортогональны (перпендикулярны). Следовательно, диагонали ромба $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Применение метода координат, в частности, введение системы координат и использование векторов, позволило доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.