Номер 15, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой. Вопросы для повторения к главе 11 - номер 15, страница 268.

Условие.

15 Какое уравнение называется уравнением данной линии? Приведите пример.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Какое уравнение называется уравнением данной линии?

Уравнением данной линии (или кривой) в заданной системе координат называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки этой линии и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.

Другими словами, уравнение $F(x, y) = 0$ является уравнением линии $L$, если для его справедливости необходимо и достаточно, чтобы точка с координатами $(x, y)$ принадлежала линии $L$. Это означает, что должны выполняться два условия:

1) Если точка $M(x_0, y_0)$ лежит на линии $L$, то ее координаты $(x_0, y_0)$ при подстановке в уравнение обращают его в верное числовое равенство: $F(x_0, y_0) = 0$.

2) Если точка $N(x_1, y_1)$ не лежит на линии $L$, то ее координаты $(x_1, y_1)$ не удовлетворяют уравнению: $F(x_1, y_1) \neq 0$.

Таким образом, уравнение линии — это аналитический способ задания линии как множества точек, обладающих общим геометрическим свойством.

Ответ: Уравнением данной линии называется уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты всех точек, принадлежащих этой линии, и только их.

Приведите пример.

Рассмотрим в качестве примера окружность с центром в начале координат $O(0, 0)$ и радиусом $R$.

Основное геометрическое свойство окружности заключается в том, что все ее точки находятся на одинаковом расстоянии, равном радиусу $R$, от центра.

Пусть $M(x, y)$ — произвольная точка на плоскости. Расстояние от этой точки до начала координат $O(0, 0)$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками: $d = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Для того чтобы точка $M(x, y)$ лежала на нашей окружности, необходимо и достаточно, чтобы ее расстояние до центра было равно $R$, то есть $d = R$.

Получаем уравнение: $\sqrt{x^2 + y^2} = R$.

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат. В результате получим каноническое уравнение окружности с центром в начале координат:

$x^2 + y^2 = R^2$

Это уравнение является уравнением данной окружности, так как: 1) координаты любой точки на окружности удовлетворяют ему, поскольку расстояние от нее до центра равно $R$; 2) координаты любой точки, не лежащей на окружности, не удовлетворяют ему, так как расстояние от такой точки до центра не равно $R$.

Например, уравнение $x^2 + y^2 = 9$ задает окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: Примером уравнения линии является уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $R$: $x^2 + y^2 = R^2$.