Номер 15, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 11. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 15, страница 268.

15 Какое уравнение называется уравнением данной линии? Приведите пример.

Какое уравнение называется уравнением данной линии?

Уравнением данной линии (или кривой) в заданной системе координат называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки этой линии и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.

Другими словами, уравнение $F(x, y) = 0$ является уравнением линии $L$, если для его справедливости необходимо и достаточно, чтобы точка с координатами $(x, y)$ принадлежала линии $L$. Это означает, что должны выполняться два условия:

1) Если точка $M(x_0, y_0)$ лежит на линии $L$, то ее координаты $(x_0, y_0)$ при подстановке в уравнение обращают его в верное числовое равенство: $F(x_0, y_0) = 0$.

2) Если точка $N(x_1, y_1)$ не лежит на линии $L$, то ее координаты $(x_1, y_1)$ не удовлетворяют уравнению: $F(x_1, y_1) \neq 0$.

Таким образом, уравнение линии — это аналитический способ задания линии как множества точек, обладающих общим геометрическим свойством.

Ответ: Уравнением данной линии называется уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты всех точек, принадлежащих этой линии, и только их.

Приведите пример.

Рассмотрим в качестве примера окружность с центром в начале координат $O(0, 0)$ и радиусом $R$.

Основное геометрическое свойство окружности заключается в том, что все ее точки находятся на одинаковом расстоянии, равном радиусу $R$, от центра.

Пусть $M(x, y)$ — произвольная точка на плоскости. Расстояние от этой точки до начала координат $O(0, 0)$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками: $d = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Для того чтобы точка $M(x, y)$ лежала на нашей окружности, необходимо и достаточно, чтобы ее расстояние до центра было равно $R$, то есть $d = R$.

Получаем уравнение: $\sqrt{x^2 + y^2} = R$.

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат. В результате получим каноническое уравнение окружности с центром в начале координат:

$x^2 + y^2 = R^2$

Это уравнение является уравнением данной окружности, так как: 1) координаты любой точки на окружности удовлетворяют ему, поскольку расстояние от нее до центра равно $R$; 2) координаты любой точки, не лежащей на окружности, не удовлетворяют ему, так как расстояние от такой точки до центра не равно $R$.

Например, уравнение $x^2 + y^2 = 9$ задает окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: Примером уравнения линии является уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $R$: $x^2 + y^2 = R^2$.