Номер 20, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой. Вопросы для повторения к главе 11 - номер 20, страница 268.

Условие.

20 Докажите, что: две параллельные прямые, не параллельные оси Oy, имеют одинаковые угловые коэффициенты; если две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти прямые параллельны.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

две параллельные прямые, не параллельные оси Oy, имеют одинаковые угловые коэффициенты
Пусть даны две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$, которые не параллельны оси $Oy$. Так как эти прямые не являются вертикальными, их можно представить уравнениями с угловым коэффициентом:
$l_1: y = k_1x + b_1$
$l_2: y = k_2x + b_2$
Здесь $k_1$ и $k_2$ – это угловые коэффициенты прямых $l_1$ и $l_2$ соответственно.
Угловой коэффициент прямой по определению равен тангенсу угла, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс ($Ox$). Обозначим эти углы наклона как $\alpha_1$ для прямой $l_1$ и $\alpha_2$ для прямой $l_2$. Таким образом:
$k_1 = \tan(\alpha_1)$
$k_2 = \tan(\alpha_2)$
Поскольку прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны ($l_1 \parallel l_2$), а ось $Ox$ является для них секущей, то углы $\alpha_1$ и $\alpha_2$ являются соответственными. Согласно свойству параллельных прямых, соответственные углы равны: $\alpha_1 = \alpha_2$.
Если углы равны, то равны и их тангенсы (так как прямые не перпендикулярны оси $Ox$, углы не равны $90^\circ$ и тангенсы для них определены).
Следовательно, $\tan(\alpha_1) = \tan(\alpha_2)$.
Из этого следует, что $k_1 = k_2$. Таким образом, угловые коэффициенты параллельных прямых равны.
Ответ: Доказано.

если две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти прямые параллельны
Пусть даны две прямые $l_1$ и $l_2$, у которых одинаковые угловые коэффициенты, равные $k$. Уравнения этих прямых можно записать в виде:
$l_1: y = kx + b_1$
$l_2: y = kx + b_2$
Рассмотрим два возможных случая:
1. Если $b_1 = b_2$, то уравнения прямых $y = kx + b_1$ и $y = kx + b_2$ полностью совпадают. Это означает, что $l_1$ и $l_2$ – это одна и та же прямая. Совпадающие прямые по определению являются параллельными.
2. Если $b_1 \neq b_2$. Докажем методом от противного. Предположим, что прямые $l_1$ и $l_2$ не параллельны, а значит, они пересекаются в некоторой точке $M(x_0, y_0)$.
Если точка $M$ принадлежит обеим прямым, то её координаты должны удовлетворять обоим уравнениям:
$y_0 = kx_0 + b_1$
$y_0 = kx_0 + b_2$
Приравнивая правые части этих равенств, получаем: $kx_0 + b_1 = kx_0 + b_2$.
Вычитая из обеих частей $kx_0$, получаем $b_1 = b_2$.
Это равенство противоречит нашему исходному условию $b_1 \neq b_2$. Следовательно, предположение о том, что прямые пересекаются, было неверным. Две различные прямые на плоскости, которые не пересекаются, по определению являются параллельными.
Таким образом, в обоих случаях прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны.
Ответ: Доказано.