Номер 13, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой. Вопросы для повторения к главе 11 - номер 13, страница 268.

Условие.

13 Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя точками по их координатам.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Для вывода формулы расстояния между двумя точками воспользуемся теоремой Пифагора. Рассмотрим две точки в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости: точка $A$ с координатами $(x_1, y_1)$ и точка $B$ с координатами $(x_2, y_2)$. Расстояние между этими точками, обозначим его как $d$, равно длине отрезка $AB$.

Достроим прямоугольный треугольник, где отрезок $AB$ будет гипотенузой. Для этого проведем через точку $A$ прямую, параллельную оси абсцисс (оси $Ox$), и через точку $B$ прямую, параллельную оси ординат (оси $Oy$). Точку пересечения этих прямых обозначим как $C$. Координаты точки $C$ будут $(x_2, y_1)$.

Таким образом, мы получили прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Катеты этого треугольника $AC$ и $BC$ параллельны координатным осям.

Длину катета $AC$ можно найти как модуль разности координат по оси $x$: $AC = |x_2 - x_1|$

Длину катета $BC$ можно найти как модуль разности координат по оси $y$: $BC = |y_2 - y_1|$

Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: $AB^2 = AC^2 + BC^2$

Подставив выражения для длин катетов, получим: $d^2 = (|x_2 - x_1|)^2 + (|y_2 - y_1|)^2$

Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, знаки модуля можно убрать: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

Чтобы найти расстояние $d$, извлечем квадратный корень из обеих частей равенства. Поскольку расстояние — величина неотрицательная, мы берем арифметический (положительный) корень.

В результате получаем формулу для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости по их координатам: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Эта формула является обобщением теоремы Пифагора для координатной плоскости. Аналогичная формула для точек в трехмерном пространстве $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ имеет вид: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$.

Ответ: Формула для вычисления расстояния $d$ между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ на плоскости имеет вид: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.