Номер 10, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 11. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 10, страница 268.

10 Выведите формулы для вычисления координат вектора по координатам его начала и конца.

Пусть в некоторой системе координат заданы две точки: точка начала вектора $A$ и точка конца вектора $B$.

Координаты точки $A$ (начало вектора): $(x_1, y_1, z_1)$.
Координаты точки $B$ (конец вектора): $(x_2, y_2, z_2)$.

Вектор, идущий из точки $A$ в точку $B$, обозначается как $\vec{AB}$. Наша задача — найти его координаты.

Рассмотрим радиус-векторы точек $A$ и $B$. Радиус-вектор — это вектор, проведенный из начала координат $O(0, 0, 0)$ в данную точку.

• Радиус-вектор точки $A$ — это вектор $\vec{OA}$. Его координаты совпадают с координатами точки $A$: $\vec{OA} = \{x_1, y_1, z_1\}$.
• Радиус-вектор точки $B$ — это вектор $\vec{OB}$. Его координаты совпадают с координатами точки $B$: $\vec{OB} = \{x_2, y_2, z_2\}$.

Векторы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{AB}$ образуют треугольник $OAB$. По правилу треугольника для сложения векторов (также известному как правило Шаля) мы можем записать следующее равенство:

$\vec{OA} + \vec{AB} = \vec{OB}$

Из этого равенства можно выразить искомый вектор $\vec{AB}$, перенеся $\vec{OA}$ в правую часть:

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

Данное векторное равенство означает, что для нахождения координат вектора $\vec{AB}$ нужно из координат вектора $\vec{OB}$ вычесть соответствующие координаты вектора $\vec{OA}$.

Пусть вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $\{a_x, a_y, a_z\}$. Тогда, подставляя координаты векторов $\vec{OB}$ и $\vec{OA}$, получаем:

$a_x = x_2 - x_1$
$a_y = y_2 - y_1$
$a_z = z_2 - z_1$

Эти формулы и есть искомые. Они показывают, что каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Для двумерного случая (на плоскости) рассуждения абсолютно аналогичны. Если точка $A$ имеет координаты $(x_1, y_1)$, а точка $B$ — $(x_2, y_2)$, то координаты вектора $\vec{AB}=\{a_x, a_y\}$ вычисляются как:

$a_x = x_2 - x_1$
$a_y = y_2 - y_1$

Ответ: Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки. Если вектор $\vec{AB}$ начинается в точке $A(x_1, y_1, z_1)$ и заканчивается в точке $B(x_2, y_2, z_2)$, то его координаты $\{a_x, a_y, a_z\}$ вычисляются по формулам:
$a_x = x_2 - x_1$
$a_y = y_2 - y_1$
$a_z = z_2 - z_1$