Номер 24, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 11. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 24, страница 268.

24 Приведите примеры использования уравнений окружности и прямой при решении геометрических задач.

Использование уравнений окружности и прямой, то есть координатного метода, является мощным инструментом для решения широкого спектра геометрических задач. Этот подход позволяет перевести геометрические условия на язык алгебры, что часто упрощает решение и делает его более алгоритмичным.

Основные уравнения, которые используются в координатном методе для решения задач с окружностями и прямыми:

• Уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
• Общее уравнение прямой: $Ax + By + C = 0$.
• Уравнение прямой с угловым коэффициентом: $y = kx + b$.

Рассмотрим несколько примеров, демонстрирующих применение этого метода.

Пример 1: Нахождение точек пересечения прямой и окружности

Задача: Найти координаты точек пересечения окружности, заданной уравнением $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 25$, и прямой $x - y + 2 = 0$.

Решение: Чтобы найти точки пересечения, необходимо решить систему, состоящую из уравнений окружности и прямой: $$ \begin{cases} (x-1)^2 + (y-2)^2 = 25 \\ x - y + 2 = 0 \end{cases} $$ Из второго (линейного) уравнения выразим переменную $y$ через $x$: $$ y = x + 2 $$ Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение (уравнение окружности): $$ (x-1)^2 + ((x+2)-2)^2 = 25 $$ $$ (x-1)^2 + x^2 = 25 $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$: $$ (x^2 - 2x + 1) + x^2 = 25 $$ $$ 2x^2 - 2x - 24 = 0 $$ Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения: $$ x^2 - x - 12 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -12$. Подбором находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя уравнение прямой $y = x + 2$:
При $x_1 = 4$, получаем $y_1 = 4 + 2 = 6$.
При $x_2 = -3$, получаем $y_2 = -3 + 2 = -1$.
Таким образом, мы получили две точки пересечения.

Ответ: Координаты точек пересечения: $(4, 6)$ и $(-3, -1)$.

Пример 2: Составление уравнения касательной к окружности

Задача: Написать уравнение касательной к окружности $x^2 + y^2 = 13$ в точке $A(-2, 3)$, которая лежит на этой окружности.

Решение: Уравнение окружности $x^2 + y^2 = 13$ говорит нам, что ее центр находится в начале координат, точке $O(0, 0)$, а квадрат радиуса равен 13. Известно, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. В нашем случае касательная в точке $A$ перпендикулярна радиусу $OA$.
Сначала найдем угловой коэффициент $k_{OA}$ радиуса $OA$, используя формулу $k = \frac{\Delta y}{\Delta x}$: $$ k_{OA} = \frac{y_A - y_O}{x_A - x_O} = \frac{3 - 0}{-2 - 0} = -\frac{3}{2} $$ Угловой коэффициент касательной, обозначим его $k_{кас}$, связан с угловым коэффициентом радиуса условием перпендикулярности прямых: $k_{кас} \cdot k_{OA} = -1$. Отсюда находим $k_{кас}$: $$ k_{кас} = -\frac{1}{k_{OA}} = -\frac{1}{-3/2} = \frac{2}{3} $$ Теперь у нас есть все необходимое для составления уравнения касательной: точка $A(-2, 3)$, через которую она проходит, и ее угловой коэффициент $k_{кас} = 2/3$. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом: $y - y_0 = k(x - x_0)$. $$ y - 3 = \frac{2}{3}(x - (-2)) $$ $$ y - 3 = \frac{2}{3}(x + 2) $$ Приведем уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$. Для этого умножим обе части на 3: $$ 3(y - 3) = 2(x + 2) $$ $$ 3y - 9 = 2x + 4 $$ $$ 2x - 3y + 13 = 0 $$ Это и есть искомое уравнение касательной.

Ответ: $2x - 3y + 13 = 0$.

Пример 3: Нахождение центра и радиуса окружности, описанной около треугольника

Задача: Вершины треугольника находятся в точках $A(2, 3)$, $B(6, 1)$ и $C(2, -1)$. Найти уравнение окружности, описанной около этого треугольника.

Решение: Центр описанной окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Найдем уравнения двух таких перпендикуляров и их точку пересечения.
1. Серединный перпендикуляр к стороне AC. Найдем координаты середины отрезка $AC$: $M_{AC} = (\frac{2+2}{2}, \frac{3+(-1)}{2}) = (2, 1)$. Так как абсциссы точек $A$ и $C$ одинаковы ($x=2$), сторона $AC$ является вертикальным отрезком. Серединный перпендикуляр к нему будет горизонтальной прямой, проходящей через точку $M_{AC}(2, 1)$. Уравнение этой прямой: $y=1$.
2. Серединный перпендикуляр к стороне BC. Найдем координаты середины отрезка $BC$: $M_{BC} = (\frac{6+2}{2}, \frac{1+(-1)}{2}) = (4, 0)$. Найдем угловой коэффициент прямой $BC$: $k_{BC} = \frac{1 - (-1)}{6 - 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Серединный перпендикуляр к $BC$ будет иметь угловой коэффициент $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{BC}} = -2$. Составим уравнение серединного перпендикуляра как прямой, проходящей через точку $M_{BC}(4, 0)$ с коэффициентом $k_{\perp} = -2$: $$ y - 0 = -2(x - 4) \implies y = -2x + 8 $$ 3. Найдем центр окружности. Центр окружности $O(x_0, y_0)$ — это точка пересечения найденных перпендикуляров. Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} y = 1 \\ y = -2x + 8 \end{cases} $$ Подставляя $y=1$ во второе уравнение, получаем: $1 = -2x + 8 \implies 2x = 7 \implies x = 3.5$. Итак, центр окружности $O$ имеет координаты $(3.5, 1)$.
4. Найдем радиус окружности. Радиус $R$ — это расстояние от центра $O$ до любой из вершин, например, до $A(2, 3)$. Найдем квадрат радиуса: $$ R^2 = (x_A - x_O)^2 + (y_A - y_O)^2 = (2 - 3.5)^2 + (3 - 1)^2 = (-1.5)^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25 $$ 5. Составим уравнение окружности. Зная центр $O(3.5, 1)$ и квадрат радиуса $R^2=6.25$, записываем уравнение: $$ (x - 3.5)^2 + (y - 1)^2 = 6.25 $$

Ответ: Уравнение описанной окружности: $(x - 3.5)^2 + (y - 1)^2 = 6.25$.