Номер 1082, страница 269 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1082, страница 269.

1082 На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек М₁ (−2; 4) и М₂ (6; 8).

Пусть искомая точка $P$ лежит на оси абсцисс. Координаты любой точки на оси абсцисс имеют вид $(x; 0)$. Таким образом, нам нужно найти значение $x$, при котором точка $P(x; 0)$ будет находиться на одинаковом расстоянии от точек $M_1(-2; 4)$ и $M_2(6; 8)$.

Условие равноудаленности означает, что расстояние от $P$ до $M_1$ равно расстоянию от $P$ до $M_2$. Математически это записывается как $PM_1 = PM_2$.

Для удобства вычислений будем использовать не сами расстояния, а их квадраты, так как если равны расстояния, то равны и их квадраты: $PM_1^2 = PM_2^2$.

Формула квадрата расстояния между двумя точками $(x_a; y_a)$ и $(x_b; y_b)$ выглядит так: $d^2 = (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2$.

Найдем квадрат расстояния от точки $P(x; 0)$ до точки $M_1(-2; 4)$:
$PM_1^2 = (x - (-2))^2 + (0 - 4)^2 = (x + 2)^2 + (-4)^2 = (x + 2)^2 + 16$.

Найдем квадрат расстояния от точки $P(x; 0)$ до точки $M_2(6; 8)$:
$PM_2^2 = (x - 6)^2 + (0 - 8)^2 = (x - 6)^2 + (-8)^2 = (x - 6)^2 + 64$.

Теперь приравняем полученные выражения:
$(x + 2)^2 + 16 = (x - 6)^2 + 64$.

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:
$x^2 + 4x + 4 + 16 = x^2 - 12x + 36 + 64$.

Упростим обе части уравнения:
$x^2 + 4x + 20 = x^2 - 12x + 100$.

Члены с $x^2$ в обеих частях уравнения взаимно уничтожаются. Перенесем все члены с $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:
$4x + 12x = 100 - 20$
$16x = 80$.

Найдем $x$:
$x = \frac{80}{16}$
$x = 5$.

Мы нашли абсциссу искомой точки. Так как точка лежит на оси абсцисс, её ордината равна 0. Следовательно, искомая точка имеет координаты $(5; 0)$.

Ответ: $(5; 0)$.