Номер 1091, страница 270 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1091, страница 270.

1091 Докажите, что прямые, заданные уравнениями 3x − 1,5у + 1 = 0 и 2x − у − 3 = 0, параллельны.

Для того чтобы доказать, что две прямые параллельны, нужно показать, что их угловые коэффициенты равны, а их сдвиги по оси ординат (свободные члены) различны. Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член.

Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$.

1. Первое уравнение: $3x - 1,5y + 1 = 0$.
Выразим из него $y$:
$-1,5y = -3x - 1$
$1,5y = 3x + 1$
$y = \frac{3x + 1}{1,5}$
$y = \frac{3}{1,5}x + \frac{1}{1,5}$
$y = 2x + \frac{1}{3/2}$
$y = 2x + \frac{2}{3}$
Угловой коэффициент этой прямой $k_1 = 2$.

2. Второе уравнение: $2x - y - 3 = 0$.
Выразим из него $y$:
$-y = -2x + 3$
$y = 2x - 3$
Угловой коэффициент этой прямой $k_2 = 2$.

Сравним угловые коэффициенты и свободные члены. Мы видим, что угловые коэффициенты обеих прямых равны: $k_1 = k_2 = 2$. Свободные члены при этом различны: $b_1 = \frac{2}{3}$, а $b_2 = -3$.

Поскольку у прямых одинаковый наклон (угловой коэффициент), но они пересекают ось $y$ в разных точках, они никогда не пересекутся, то есть являются параллельными.

Альтернативный способ (через коэффициенты общего уравнения)

Для двух прямых, заданных уравнениями в общем виде $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, условие параллельности (но не совпадения) выглядит так: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$.

Для наших уравнений:
$3x - 1,5y + 1 = 0 \implies A_1 = 3, B_1 = -1,5, C_1 = 1$
$2x - y - 3 = 0 \implies A_2 = 2, B_2 = -1, C_2 = -3$

Проверим соотношения коэффициентов:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{3}{2} = 1,5$
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{-1,5}{-1} = 1,5$
$\frac{C_1}{C_2} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$

Так как $\frac{3}{2} = \frac{-1,5}{-1}$ и $1,5 \neq -\frac{1}{3}$, условие параллельности выполняется.

Ответ: Угловые коэффициенты прямых равны ($k=2$), а свободные члены различны ($\frac{2}{3}$ и $-3$), следовательно, прямые параллельны, что и требовалось доказать.