Номер 1092, страница 270 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1092, страница 270.

1092 Докажите, что точки А, В и С лежат на одной прямой, если:
а) A (−2; 0), B3; 212, C (6; 4);
б) А (3; 10), В (3; 12), C (3; −6);
в) А (1; 2), B (2; 5), C (−10; −31).

Для доказательства того, что три точки лежат на одной прямой, можно воспользоваться одним из следующих методов: 1) найти уравнение прямой, проходящей через две из этих точек, и проверить, удовлетворяют ли координаты третьей точки этому уравнению; 2) проверить условие коллинеарности точек, которое для точек A$(x_A, y_A)$, B$(x_B, y_B)$ и C$(x_C, y_C)$ может быть выражено через равенство угловых коэффициентов отрезков, например, $k_{AB} = k_{AC}$.

Угловой коэффициент $k$ отрезка, соединяющего две точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, вычисляется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Если знаменатель равен нулю, то отрезок лежит на вертикальной прямой.

а) A(-2; 0), B(3; $2\frac{1}{2}$), C(6; 4)

Сначала представим координату $y$ точки B в виде десятичной дроби для удобства вычислений: $2\frac{1}{2} = 2.5$. Таким образом, координаты точки B(3; 2.5).
Теперь вычислим угловые коэффициенты для отрезков AB и BC.
Угловой коэффициент отрезка AB:
$k_{AB} = \frac{2.5 - 0}{3 - (-2)} = \frac{2.5}{5} = 0.5$
Угловой коэффициент отрезка BC:
$k_{BC} = \frac{4 - 2.5}{6 - 3} = \frac{1.5}{3} = 0.5$
Поскольку угловые коэффициенты отрезков AB и BC равны ($k_{AB} = k_{BC} = 0.5$) и они имеют общую точку B, то точки A, B и C лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что точки A, B и C лежат на одной прямой.

б) A(3; 10), B(3; 12), C(3; -6)

Проанализируем координаты заданных точек. Абсцисса (координата $x$) всех трех точек одинакова и равна 3.
Все точки, имеющие одну и ту же абсциссу, лежат на одной вертикальной прямой. В данном случае уравнение этой прямой — $x = 3$.
Поскольку координаты всех трех точек (A, B и C) удовлетворяют этому уравнению, они лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что точки A, B и C лежат на одной прямой.

в) A(1; 2), B(2; 5), C(-10; -31)

Вычислим угловые коэффициенты для отрезков AB и AC.
Угловой коэффициент отрезка AB:
$k_{AB} = \frac{5 - 2}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3$
Угловой коэффициент отрезка AC:
$k_{AC} = \frac{-31 - 2}{-10 - 1} = \frac{-33}{-11} = 3$
Так как угловые коэффициенты отрезков AB и AC равны ($k_{AB} = k_{AC} = 3$) и они имеют общую точку A, то точки A, B и C лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что точки A, B и C лежат на одной прямой.