Номер 1101, страница 275 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла. 103. Угловой коэффициент прямой. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1101, страница 275.

1101 Найдите cos α, если:
a) sin α = 32; б) sin α = 14; в) sin α = 0.

Для нахождения значения $ \cos \alpha $, зная значение $ \sin \alpha $, мы будем использовать основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.
Из этого тождества можно выразить $ \cos^2 \alpha $: $ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $.
Следовательно, $ \cos \alpha $ равен: $ \cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} $.
Поскольку в условии задачи не указано, в какой координатной четверти находится угол $ \alpha $, косинус может быть как положительным, так и отрицательным. Поэтому в ответах мы будем указывать оба возможных значения.

а) Если $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то $ \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $.
Извлекая квадратный корень, получаем: $ \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2} $.
Ответ: $ \pm\frac{1}{2} $.

б) Если $ \sin \alpha = \frac{1}{4} $, то $ \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{16}{16} - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} $.
Извлекая квадратный корень, получаем: $ \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4} $.
Ответ: $ \pm\frac{\sqrt{15}}{4} $.

в) Если $ \sin \alpha = 0 $, то $ \cos^2 \alpha = 1 - 0^2 = 1 $.
Извлекая квадратный корень, получаем: $ \cos \alpha = \pm\sqrt{1} = \pm 1 $.
Ответ: $ \pm 1 $.