Номер 1103, страница 275 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла. 103. Угловой коэффициент прямой. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1103, страница 275.

1103 Вычислите синусы, косинусы и тангенсы углов 120°, 135°, 150°.

Для вычисления тригонометрических функций углов, больших 90°, используются формулы приведения. Эти формулы позволяют выразить значения функций тупых углов через значения функций острых углов. Для углов $\alpha$ во второй четверти (от 90° до 180°) справедливы следующие соотношения:

• $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$
• $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$
• $\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan(\alpha)$

Также мы будем использовать основное определение тангенса: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

Угол 120°

Представим угол 120° в виде разности $180^\circ - 60^\circ$.

Вычислим синус:

$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Вычислим косинус:

$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$

Вычислим тангенс:

$\tan(120^\circ) = \frac{\sin(120^\circ)}{\cos(120^\circ)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}$

Ответ: $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, $\tan(120^\circ) = -\sqrt{3}$.

Угол 135°

Представим угол 135° в виде разности $180^\circ - 45^\circ$.

Вычислим синус:

$\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Вычислим косинус:

$\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Вычислим тангенс:

$\tan(135^\circ) = \frac{\sin(135^\circ)}{\cos(135^\circ)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1$

Ответ: $\sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan(135^\circ) = -1$.

Угол 150°

Представим угол 150° в виде разности $180^\circ - 30^\circ$.

Вычислим синус:

$\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Вычислим косинус:

$\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Вычислим тангенс:

$\tan(150^\circ) = \frac{\sin(150^\circ)}{\cos(150^\circ)} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\sin(150^\circ) = \frac{1}{2}$, $\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.