Номер 1104, страница 275 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 1. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла. 103. Угловой коэффициент прямой - номер 1104, страница 275.

Условие.

1104 Постройте ∠A, если:
а) sin A = 23; б) cos A = 34; в) cos A = −25.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Для построения углов мы будем использовать определения синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике и на единичной окружности (или в системе координат). Построение выполняется с помощью циркуля и линейки без делений.

а) $\sin A = \frac{2}{3}$

Поскольку значение синуса положительно, искомый угол $A$ может быть как острым (в первой четверти), так и тупым (во второй четверти), так как $\sin(180^\circ - A) = \sin A$. Мы построим оба варианта.

Для построения острого угла $A_1$ воспользуемся определением синуса в прямоугольном треугольнике: $\sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$. Нам нужно построить прямоугольный треугольник, у которого противолежащий катет равен 2 условным единицам, а гипотенуза — 3 условным единицам.

1. Начертим прямую и выберем на ней произвольную точку C.
2. Восставим в точке C перпендикуляр к этой прямой.
3. Отложим на перпендикуляре от точки C отрезок $BC$, равный 2 выбранным единицам длины.
4. Из точки B как из центра проведём дугу окружности радиусом 3 единицы длины так, чтобы она пересекла исходную прямую. Точку пересечения обозначим A.
5. Соединим точки A и B. Получим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C.
6. В этом треугольнике $\sin(\angle BAC) = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{3}$. Следовательно, угол $\angle BAC$ — это искомый острый угол $A_1$.

Тупой угол $A_2$, синус которого также равен $\frac{2}{3}$, является смежным с построенным острым углом $A_1$.

7. Продлим луч AC за точку A. Обозначим на продолжении луча произвольную точку D.
8. Угол $\angle BAD$ является тупым, и $\angle BAD = 180^\circ - \angle BAC$. Так как $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, то $\sin(\angle BAD) = \sin(\angle BAC) = \frac{2}{3}$.

Ответ: Построенный острый угол $\angle BAC$ и смежный с ним тупой угол $\angle BAD$ являются искомыми углами.

б) $\cos A = \frac{3}{4}$

Поскольку $\cos A = \frac{3}{4} > 0$, искомый угол $A$ является острым ($0^\circ < A < 90^\circ$). Для его построения воспользуемся определением косинуса в прямоугольном треугольнике: $\cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$. Нам нужно построить прямоугольный треугольник с прилежащим катетом в 3 единицы и гипотенузой в 4 единицы.

1. Начертим луч с началом в точке A.
2. На этом луче отложим отрезок $AC$, равный 3 выбранным единицам длины.
3. В точке C восставим перпендикуляр к прямой AC.
4. Из точки A как из центра проведём дугу окружности радиусом 4 единицы длины до пересечения с перпендикуляром. Точку пересечения обозначим B.
5. Соединим точки A и B. Получим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C.
6. В этом треугольнике $\cos(\angle BAC) = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{4}$. Следовательно, угол $\angle BAC$ — искомый угол A.

Ответ: Построенный угол $\angle BAC$ является искомым углом.

в) $\cos A = -\frac{2}{5}$

Поскольку $\cos A = -\frac{2}{5} < 0$, искомый угол $A$ является тупым ($90^\circ < A < 180^\circ$). Для его построения воспользуемся свойством $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$. Сначала мы построим вспомогательный острый угол $\alpha$, для которого $\cos \alpha = \frac{2}{5}$. Затем построим смежный с ним угол, который и будет искомым углом $A$.

Этап 1: Построение острого угла $\alpha$ такого, что $\cos \alpha = \frac{2}{5}$.

1. Начертим луч с началом в точке O.
2. На луче отложим отрезок $OC$, равный 2 выбранным единицам длины.
3. В точке C восставим перпендикуляр к прямой OC.
4. Из точки O как из центра проведём дугу окружности радиусом 5 единиц до пересечения с перпендикуляром. Точку пересечения обозначим B.
5. Соединим точки O и B. В полученном прямоугольном треугольнике OBC угол $\angle BOC = \alpha$, и $\cos \alpha = \frac{OC}{OB} = \frac{2}{5}$.

Этап 2: Построение искомого тупого угла $A$.

6. Продлим луч CO за точку O. Обозначим на продолжении луча произвольную точку D.
7. Угол $\angle BOD$ является смежным с углом $\alpha = \angle BOC$. Таким образом, $\angle BOD = 180^\circ - \alpha$.
8. Косинус этого угла равен $\cos(\angle BOD) = \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha = -\frac{2}{5}$.
9. Следовательно, угол $\angle BOD$ — это искомый угол $A$.

Ответ: Построенный тупой угол $\angle BOD$, смежный с острым углом $\alpha$ (где $\cos \alpha = \frac{2}{5}$), является искомым углом A.