Номер 1108, страница 276 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла. 103. Угловой коэффициент прямой. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1108, страница 276.

1108 Луч света, падая из точки М (8; 3) под углом 45° к положительному направлению оси Ох, отражается от неё. Составьте уравнения прямых, которым принадлежат падающий и отражённый лучи. В какой точке отражённый луч пересекает экран, находящийся в точке В(–10; 0) и расположенный перпендикулярно к оси Ох?

Составьте уравнения прямых, которым принадлежат падающий и отражённый лучи.

1. Уравнение падающего луча

Луч света выходит из точки $M(8; 3)$ и падает на ось $Ox$. В условии сказано, что угол падения составляет $45^\circ$ к положительному направлению оси $Ox$. Поскольку луч движется из области $y > 0$ к оси $y = 0$, его ордината уменьшается, а значит, угловой коэффициент (тангенс угла наклона) прямой должен быть отрицательным. Угол наклона прямой к положительному направлению оси $Ox$, таким образом, составляет $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Угловой коэффициент $k_1$ падающего луча равен:

$k_1 = \tan(135^\circ) = -1$

Используем уравнение прямой, проходящей через точку $M(x_0; y_0)$ с известным угловым коэффициентом $k$: $y - y_0 = k(x - x_0)$.

Подставим координаты точки $M(8; 3)$ и найденный коэффициент $k_1 = -1$:

$y - 3 = -1 \cdot (x - 8)$

$y - 3 = -x + 8$

$y = -x + 11$

Это уравнение прямой, содержащей падающий луч.

2. Уравнение отраженного луча

Сначала найдем точку, в которой луч отражается от оси $Ox$. В этой точке координата $y = 0$. Подставим это значение в уравнение падающего луча:

$0 = -x + 11$

$x = 11$

Точка отражения — $P(11; 0)$.

Согласно закону отражения света от горизонтальной поверхности, угловой коэффициент отраженного луча $k_2$ имеет противоположный знак по сравнению с угловым коэффициентом падающего луча $k_1$:

$k_2 = -k_1 = -(-1) = 1$

Теперь составим уравнение для отраженного луча, который проходит через точку $P(11; 0)$ с угловым коэффициентом $k_2 = 1$:

$y - 0 = 1 \cdot (x - 11)$

$y = x - 11$

Это уравнение прямой, содержащей отраженный луч.

Ответ: Уравнение прямой падающего луча: $y = -x + 11$. Уравнение прямой отраженного луча: $y = x - 11$.

В какой точке отражённый луч пересекает экран, находящийся в точке B(-10; 0) и расположенный перпендикулярно к оси Ox?

Экран расположен перпендикулярно оси $Ox$ и проходит через точку $B(-10; 0)$. Это значит, что экран является вертикальной прямой, для всех точек которой абсцисса $x$ постоянна и равна $-10$. Уравнение прямой, на которой расположен экран: $x = -10$.

Для нахождения точки пересечения отраженного луча и экрана решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = x - 11 \\ x = -10 \end{cases}$

Подставим значение $x = -10$ из второго уравнения в первое:

$y = -10 - 11 = -21$

Таким образом, отраженный луч пересекает экран в точке с координатами $(-10; -21)$.

Ответ: Отраженный луч пересекает экран в точке $(-10; -21)$.