Номер 1115, страница 282 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 108. Измерительные работы - номер 1115, страница 282.

Условие.

1115 В треугольнике ABC известно, что AC = 12 cм, ∠A = 75°, ∠C = 60°. Найдите AB и SABC.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

AB

Сначала найдем третий угол треугольника, $\angle B$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$.

Далее воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон:

$\frac{AB}{\sin\angle C} = \frac{AC}{\sin\angle B}$

Выразим из этой формулы сторону $AB$ и подставим известные значения ($AC = 12$ см, $\angle C = 60^\circ$, $\angle B = 45^\circ$):

$AB = \frac{AC \cdot \sin\angle C}{\sin\angle B} = \frac{12 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}$

Зная, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$AB = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$AB = \frac{12\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{6}}{2} = 6\sqrt{6}$ см.

Ответ: $AB = 6\sqrt{6}$ см.

S_ABC

Площадь треугольника ($S_{ABC}$) можно вычислить по формуле с использованием двух сторон и синуса угла между ними. Возьмем стороны $AC$ и $AB$ и угол $\angle A$ между ними.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin\angle A$

Нам известны $AC = 12$ см, $AB = 6\sqrt{6}$ см (найдено в предыдущем пункте) и $\angle A = 75^\circ$.

Найдем значение $\sin 75^\circ$, используя формулу синуса суммы:

$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$

$\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Теперь подставим все значения в формулу площади:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6\sqrt{6} \cdot \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right)$

Упростим полученное выражение:

$S_{ABC} = 36\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 9\sqrt{6}(\sqrt{6} + \sqrt{2})$

$S_{ABC} = 9(\sqrt{6}\cdot\sqrt{6} + \sqrt{6}\cdot\sqrt{2}) = 9(6 + \sqrt{12})$

Так как $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$, то:

$S_{ABC} = 9(6 + 2\sqrt{3}) = 54 + 18\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $S_{ABC} = (54 + 18\sqrt{3})$ см$^2$.