Номер 1121, страница 282 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 108. Измерительные работы. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1121, страница 282.

1121 Две равные по величине силы приложены к одной точке под углом 72° друг к другу. Найдите величины этих сил, если величина их равнодействующей равна 120 кг.

Пусть $F$ — искомая величина каждой из двух равных сил, $\alpha = 72^\circ$ — угол между ними, а $R = 120$ кг — величина их равнодействующей.

Равнодействующая двух векторов сил находится по правилу параллелограмма. Величина равнодействующей ($R$) связана с величинами исходных сил ($F$) и углом между ними ($\alpha$) по теореме косинусов:$R^2 = F^2 + F^2 + 2 \cdot F \cdot F \cdot \cos(\alpha)$$R^2 = 2F^2(1 + \cos(\alpha))$

Для дальнейшего упрощения используем тригонометрическую формулу $1 + \cos(\alpha) = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$. Подставив ее в предыдущее уравнение, получим:$R^2 = 2F^2 \cdot 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 4F^2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$Отсюда можно выразить $F$:$R = 2F\cos(\frac{\alpha}{2})$$F = \frac{R}{2\cos(\frac{\alpha}{2})}$

Подставим числовые значения: $R = 120$ и $\alpha = 72^\circ$, тогда $\frac{\alpha}{2} = 36^\circ$.$F = \frac{120}{2\cos(36^\circ)} = \frac{60}{\cos(36^\circ)}$

Значение $\cos(36^\circ)$ является известной величиной, равной $\frac{1+\sqrt{5}}{4}$. Подставим его в формулу:$F = \frac{60}{\frac{1+\sqrt{5}}{4}} = \frac{240}{1+\sqrt{5}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{5}-1$:$F = \frac{240(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} = \frac{240(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{240(\sqrt{5}-1)}{5-1} = \frac{240(\sqrt{5}-1)}{4} = 60(\sqrt{5}-1)$

Ответ: $60(\sqrt{5}-1)$ кг.