Номер 1123, страница 283 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 108. Измерительные работы. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1123, страница 283.

1123 В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большее основание равно 10 см, а угол при основании равен 70°. Найдите периметр трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. По условию задачи меньшее основание равно боковой стороне, то есть $BC = AB = CD$. Обозначим эту длину как $x$. Также известно, что большее основание $AD = 10$ см, а угол при основании, например $\angle D$, равен $70^\circ$. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, поэтому $\angle A = \angle D = 70^\circ$.

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон: $P = AB + BC + CD + AD$. Подставляя наши обозначения, получаем: $P = x + x + x + 10 = 3x + 10$. Для нахождения периметра необходимо найти значение $x$.

Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на большее основание $AD$. Так как $BC$ параллельно $AD$ и $BH$, $CK$ перпендикулярны $AD$, то четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником. Следовательно, $HK = BC = x$.

Треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ являются прямоугольными и равными, так как трапеция равнобедренная (гипотенузы $AB$ и $CD$ равны, высоты $BH$ и $CK$ равны). Из равенства треугольников следует равенство катетов: $AH = KD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CKD$. Гипотенуза $CD = x$, а угол $\angle D = 70^\circ$. Катет $KD$ является прилежащим к этому углу. Из определения косинуса имеем: $\cos(\angle D) = \frac{KD}{CD}$, или $\cos(70^\circ) = \frac{KD}{x}$. Отсюда находим $KD = x \cdot \cos(70^\circ)$.

Большее основание $AD$ состоит из трех отрезков: $AD = AH + HK + KD$. Учитывая, что $AH = KD$ и $HK = x$, получаем: $AD = KD + x + KD = x + 2 \cdot KD$.

Подставим известные значения и полученные выражения в эту формулу: $10 = x + 2 \cdot (x \cdot \cos(70^\circ))$.

Решим это уравнение относительно $x$. Вынесем $x$ за скобки: $10 = x(1 + 2\cos(70^\circ))$.

Отсюда находим длину боковой стороны и меньшего основания: $x = \frac{10}{1 + 2\cos(70^\circ)}$ см.

Теперь можем вычислить периметр трапеции: $P = 3x + 10 = 3 \cdot \frac{10}{1 + 2\cos(70^\circ)} + 10 = \frac{30}{1 + 2\cos(70^\circ)} + 10$ см.

Ответ: Периметр трапеции равен $\left(\frac{30}{1 + 2\cos(70^\circ)} + 10\right)$ см.