Номер 1122, страница 282 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 108. Измерительные работы. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1122, страница 282.

1122 Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

Решение

Пусть R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC. Докажем, что $\frac{BC}{\sin A}=2R,$ или $BC=2R \sin A.$

Проведём диаметр ВА₁ (рис. 333) и рассмотрим треугольник А₁ВC (случай, когда точки A₁ и С совпадают, рассмотрите самостоятельно). Угол С этого треугольника прямой, поэтому BС=ВА₁⋅sinA₁. Но sinA₁=sinА. Действительно, если точка А₁ лежит на дуге ВАC (рис. 333, а), то ∠A₁=∠A, а если на дуге BDC (рис. 333, б), то ∠А₁=180°−∠А. И в том, и в другом случае sin A₁=sinA. Следовательно,

ВС=ВА₁⋅sinА, или $BC=2R \sin A.$

Требуется доказать, что для произвольного треугольника отношение его стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной около этого треугольника окружности.

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $a, b, c$, где $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$, и противолежащими им углами $A, B, C$. Пусть около треугольника описана окружность радиусом $R$ и центром $O$. Нам нужно доказать, что $\frac{a}{\sin A} = 2R$.

Проведём из вершины $B$ диаметр $BA_1$ (см. рис. 333). Точка $A_1$ будет лежать на окружности. Соединим точки $A_1$ и $C$ отрезком.

Рассмотрим полученный треугольник $\triangle A_1BC$. Угол $\angle BCA_1$ является вписанным в окружность и опирается на её диаметр $BA_1$. По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, $\angle BCA_1 = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $\triangle A_1BC$ — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике $A_1BC$ (с гипотенузой $BA_1 = 2R$) по определению синуса угла:
$\sin(\angle BA_1C) = \frac{BC}{BA_1} = \frac{a}{2R}$
Из этого выражения получаем: $a = 2R \cdot \sin(\angle BA_1C)$.

Теперь необходимо связать угол $\angle BA_1C$ с углом $A$ исходного треугольника. Рассмотрим три возможных случая.

Случай 1: Угол $A$ — острый (рис. 333, а)
В этом случае вершины $A$ и $A_1$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $BC$. Вписанные углы $\angle BAC$ и $\angle BA_1C$ опираются на одну и ту же дугу $BC$. Следовательно, эти углы равны: $\angle A = \angle BA_1C$. Тогда и синусы этих углов равны: $\sin A = \sin(\angle BA_1C)$.

Случай 2: Угол $A$ — тупой (рис. 333, б)
В этом случае вершины $A$ и $A_1$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $BC$. Четырёхугольник $ABA_1C$ вписан в окружность. По свойству вписанного четырёхугольника, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle A + \angle BA_1C = 180^\circ$, откуда $\angle BA_1C = 180^\circ - \angle A$. По формуле приведения, $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, получаем: $\sin(\angle BA_1C) = \sin(180^\circ - A) = \sin A$.

Случай 3: Угол $A$ — прямой
Если $\angle A = 90^\circ$, то он опирается на диаметр. Это означает, что противолежащая сторона $BC$ является диаметром описанной окружности, то есть $a = 2R$. При этом $\sin A = \sin 90^\circ = 1$. Проверим равенство: $\frac{a}{\sin A} = \frac{2R}{1} = 2R$. Равенство выполняется.

Таким образом, во всех трёх случаях было показано, что $\sin(\angle BA_1C) = \sin A$. Подставим этот результат в полученную ранее формулу $a = 2R \cdot \sin(\angle BA_1C)$:
$a = 2R \sin A$

Разделив обе части равенства на $\sin A$ (это допустимо, так как угол треугольника находится в интервале $(0, 180^\circ)$, и его синус не равен нулю), мы получаем искомое соотношение:
$\frac{a}{\sin A} = 2R$

Поскольку рассуждения проводились для произвольно выбранной стороны $a=BC$ и противолежащего ей угла $A$, они справедливы для любой другой стороны и противолежащего ей угла треугольника.

Ответ: Доказано, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности, то есть для любого треугольника выполняются равенства $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.