Номер 1127, страница 283 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 108. Измерительные работы. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1127, страница 283.

1127 На горе находится башня, высота которой равна 100 м (рис. 335). Некоторый предмет А у подножия горы наблюдают сначала с вершины В башни под углом 60° к горизонту, а потом с её основания С под углом 30°. Найдите высоту Н горы.

Для решения задачи введем обозначения в соответствии с рисунком. Пусть $A$ — точка наблюдения у подножия горы, $C$ — основание башни (вершина горы), а $B$ — вершина башни.

Обозначим искомую высоту горы за $H$. По условию задачи, высота башни $BC = 100$ м. Проведем вертикальную линию через точки $B$ и $C$. Пусть $D$ — точка на уровне подножия горы на этой вертикали. Тогда $AD$ — это горизонтальное расстояние, а $CD$ — высота горы, $CD=H$. Треугольник $ADC$ — прямоугольный. Полная высота от вершины башни до уровня подножия горы равна $BD = BC + CD = 100 + H$. Треугольник $ADB$ также является прямоугольным.

Углы наблюдения $60°$ и $30°$ даны к горизонту, это так называемые углы понижения. Угол понижения из точки $C$ к точке $A$ равен $30°$. Так как горизонтальная линия, проведенная через $C$, параллельна $AD$, то по свойству накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей $AC$, угол $?CAD = 30°$. Аналогично, угол понижения из точки $B$ равен $60°$, поэтому угол $?BAD = 60°$.

Задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1. Через систему уравнений с тангенсами

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, $?ADC$ и $?ADB$, у которых есть общий катет $AD$. Обозначим длину этого катета $AD$ как $x$.

В прямоугольном треугольнике $?ADC$ отношение противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$ равно тангенсу угла $?CAD$: $tan(?CAD) = \frac{CD}{AD}$ $tan(30°) = \frac{H}{x}$ Из этого уравнения выразим $x$: $x = \frac{H}{tan(30°)}$.

В прямоугольном треугольнике $?ADB$ отношение противолежащего катета $BD$ к прилежащему катету $AD$ равно тангенсу угла $?BAD$: $tan(?BAD) = \frac{BD}{AD}$ $tan(60°) = \frac{H + 100}{x}$ Из этого уравнения также выразим $x$: $x = \frac{H + 100}{tan(60°)}$.

Так как оба выражения равны $x$, мы можем их приравнять: $\frac{H}{tan(30°)} = \frac{H + 100}{tan(60°)}$

Подставим табличные значения тангенсов: $tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $tan(60°) = \sqrt{3}$. $\frac{H}{1/\sqrt{3}} = \frac{H + 100}{\sqrt{3}}$ $H \cdot \sqrt{3} = \frac{H + 100}{\sqrt{3}}$

Решим полученное уравнение относительно $H$: $H \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = H + 100$ $3H = H + 100$ $2H = 100$ $H = 50$ м.

Ответ: высота горы $H$ равна 50 м.

Способ 2. Через свойства равнобедренного треугольника

Рассмотрим треугольник $?ABC$ и найдем его углы.

Угол $?BAC$ можно найти как разность углов $?BAD$ и $?CAD$, которые мы определили ранее: $?BAC = ?BAD - ?CAD = 60° - 30° = 30°$.

Угол $?ABC$ (который совпадает с углом $?ABD$) найдем из прямоугольного треугольника $?ADB$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$, поэтому: $?ABD = 90° - ?BAD = 90° - 60° = 30°$.

Таким образом, в треугольнике $?ABC$ два угла равны: $?BAC = ?ABC = 30°$. Следовательно, треугольник $?ABC$ является равнобедренным, а стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $AC = BC$.

Из условия задачи мы знаем, что высота башни $BC = 100$ м. Значит, и сторона $AC$ тоже равна 100 м.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $?ADC$. В нем нам известна гипотенуза $AC = 100$ м и прилежащий к ней угол $?CAD = 30°$. Нам нужно найти противолежащий этому углу катет $CD$, который и является высотой горы $H$.

Используем определение синуса угла: $sin(?CAD) = \frac{CD}{AC}$ $sin(30°) = \frac{H}{100}$

Зная, что $sin(30°) = \frac{1}{2}$, получаем уравнение: $\frac{1}{2} = \frac{H}{100}$ Откуда находим $H$: $H = \frac{100}{2} = 50$ м.

Ответ: высота горы $H$ равна 50 м.