Номер 1124, страница 283 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 108. Измерительные работы. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1124, страница 283.

1124 В окружности проведены хорды AB и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый угол между этими хордами, если AB = 13 см, СЕ = 9 см, ED = 4 см и расстояние между точками В и D равно 43 см.

Пусть хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$. По условию задачи нам даны следующие длины: $AB = 13$ см, $CE = 9$ см, $ED = 4$ см, и расстояние между точками $B$ и $D$, то есть длина хорды $BD$, равно $4\sqrt{3}$ см.

Воспользуемся свойством пересекающихся хорд в окружности, которое гласит, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: $AE \cdot EB = CE \cdot ED$

Подставим известные значения для хорды $CD$: $CE \cdot ED = 9 \cdot 4 = 36$ см$^2$. Следовательно, для хорды $AB$ также выполняется равенство: $AE \cdot EB = 36$.

Мы также знаем, что длина хорды $AB$ равна сумме длин ее отрезков: $AE + EB = 13$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, $AE$ и $EB$: $ \begin{cases} AE + EB = 13 \\ AE \cdot EB = 36 \end{cases} $ Решая эту систему (например, по теореме Виета для квадратного уравнения $t^2 - 13t + 36 = 0$), находим, что длины отрезков $AE$ и $EB$ равны 4 см и 9 см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BED$. Мы хотим найти угол между хордами, одним из которых является $\angle BED$. Стороны этого треугольника: $EB$, $ED$ и $BD$. Нам известно, что $ED = 4$ см и $BD = 4\sqrt{3}$ см. Длина отрезка $EB$ может быть либо 4 см, либо 9 см. Рассмотрим случай, когда $EB = 4$ см.

Таким образом, в треугольнике $\triangle BED$ известны все три стороны: $EB = 4$ см, $ED = 4$ см, $BD = 4\sqrt{3}$ см. Применим теорему косинусов для нахождения угла $\angle BED$: $BD^2 = EB^2 + ED^2 - 2 \cdot EB \cdot ED \cdot \cos(\angle BED)$

Подставим значения длин сторон: $(4\sqrt{3})^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos(\angle BED)$ $16 \cdot 3 = 16 + 16 - 32 \cdot \cos(\angle BED)$ $48 = 32 - 32 \cdot \cos(\angle BED)$ $48 - 32 = -32 \cdot \cos(\angle BED)$ $16 = -32 \cdot \cos(\angle BED)$ $\cos(\angle BED) = \frac{16}{-32} = -\frac{1}{2}$

Из этого следует, что угол $\angle BED$ является тупым и равен $120^\circ$.

Углы между пересекающимися хордами являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$. Один из углов равен $\angle BED = 120^\circ$, а другой — $\angle CEB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. По условию задачи требуется найти острый угол. Острый угол равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.