Номер 1118, страница 282 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 108. Измерительные работы. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1118, страница 282.

1118 Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сторон равна а, а прилежащие к этой стороне углы равны α и β.

Пусть в заданном треугольнике сторона, равная $a$, является стороной $AB$, а прилежащие к ней углы — это $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$. Обозначим вершины треугольника как $A$, $B$, и $C$. Тогда третий угол треугольника $\angle C = 180^\circ - (\alpha + \beta)$. Нам необходимо найти длины трех биссектрис этого треугольника, которые мы обозначим как $l_A$, $l_B$ и $l_C$ — биссектрисы, проведенные из вершин $A$, $B$ и $C$ соответственно.

Биссектриса угла ?

Найдем длину биссектрисы $l_A$, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$. Пусть точка пересечения биссектрисы со стороной $BC$ будет $D$. В треугольнике $ABD$ нам известны сторона $AB = a$, угол $\angle B = \beta$ и угол $\angle BAD = \alpha/2$ (так как $AD$ — биссектриса). Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол $\angle ADB = 180^\circ - (\angle B + \angle BAD) = 180^\circ - (\beta + \alpha/2)$. Применим теорему синусов к треугольнику $ABD$: $$ \frac{AD}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)} $$ Подставляя известные значения, получаем: $$ \frac{l_A}{\sin(\beta)} = \frac{a}{\sin(180^\circ - (\beta + \alpha/2))} $$ Используя свойство синуса $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, упростим выражение: $$ \frac{l_A}{\sin(\beta)} = \frac{a}{\sin(\beta + \alpha/2)} $$ Отсюда выражаем длину биссектрисы $l_A$:
Ответ: $l_A = \frac{a \sin(\beta)}{\sin(\beta + \alpha/2)}$

Биссектриса угла ?

Найдем длину биссектрисы $l_B$, проведенной из вершины $B$ к стороне $AC$. Пусть точка пересечения биссектрисы со стороной $AC$ будет $E$. Рассуждая аналогично, рассмотрим треугольник $ABE$. В нем известны сторона $AB = a$, угол $\angle A = \alpha$ и угол $\angle ABE = \beta/2$ (так как $BE$ — биссектриса). Третий угол треугольника $\angle AEB = 180^\circ - (\angle A + \angle ABE) = 180^\circ - (\alpha + \beta/2)$. Применим теорему синусов к треугольнику $ABE$: $$ \frac{BE}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle AEB)} $$ Подставляя известные значения, получаем: $$ \frac{l_B}{\sin(\alpha)} = \frac{a}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta/2))} $$ $$ \frac{l_B}{\sin(\alpha)} = \frac{a}{\sin(\alpha + \beta/2)} $$ Отсюда выражаем длину биссектрисы $l_B$:
Ответ: $l_B = \frac{a \sin(\alpha)}{\sin(\alpha + \beta/2)}$

Биссектриса третьего угла

Найдем длину биссектрисы $l_C$, проведенной из вершины $C$ к стороне $AB$. Пусть точка пересечения биссектрисы со стороной $AB$ будет $F$. Угол при вершине $C$ равен $\angle C = 180^\circ - (\alpha + \beta)$. Биссектриса $CF$ делит его пополам, поэтому $\angle ACF = \frac{180^\circ - (\alpha + \beta)}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha+\beta}{2}$. Для нахождения $l_C$ рассмотрим треугольник $ACF$. Нам потребуется длина стороны $AC$. Найдем ее из основного треугольника $ABC$ по теореме синусов: $$ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)} \implies \frac{AC}{\sin(\beta)} = \frac{a}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))} = \frac{a}{\sin(\alpha + \beta)} $$ $$ AC = \frac{a \sin(\beta)}{\sin(\alpha + \beta)} $$ Теперь вернемся к треугольнику $ACF$. Угол $\angle AFC = 180^\circ - \angle A - \angle ACF = 180^\circ - \alpha - (90^\circ - \frac{\alpha+\beta}{2}) = 90^\circ - \frac{\alpha-\beta}{2}$. Применим теорему синусов к треугольнику $ACF$: $$ \frac{CF}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle AFC)} $$ $$ \frac{l_C}{\sin(\alpha)} = \frac{AC}{\sin(90^\circ - \frac{\alpha-\beta}{2})} = \frac{AC}{\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})} $$ Подставим найденное выражение для $AC$: $$ l_C = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})} \cdot \frac{a \sin(\beta)}{\sin(\alpha + \beta)} $$
Ответ: $l_C = \frac{a \sin(\alpha) \sin(\beta)}{\sin(\alpha + \beta) \cos(\frac{\alpha - \beta}{2})}$